Trigonometria Esempi

$\sec^{2} (x) + \cot^{2} (x) = \tan^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\sec^{2} (x) + \cot^{2} (x)$

Passaggio 2

Applica l'identità pitagorica al contrario.

$\tan^{2} (x) + 1 + \cot^{2} (x)$

Passaggio 3

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 3.1

Scrivi $\tan (x)$ in seno e coseno usando l'identità quoziente.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 1 + \cot^{2} (x)$

Passaggio 3.2

Scrivi $\cot (x)$ in seno e coseno usando l'identità quoziente.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Passaggio 3.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Passaggio 3.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 4

Scrivi $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1}{1} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 5

Somma le frazioni.

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Passaggio 5.1

Per scrivere $\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1}{1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1}{1}$ per $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1) \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1) \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 6

Semplifica ciascun termine.

$\frac{\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 7

Scrivi $\sin^{2} (x)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{1} + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 8

Somma le frazioni.

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Passaggio 8.1

Per scrivere $\frac{\sin^{2} (x)}{1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 8.2

Moltiplica $\frac{\sin^{2} (x)}{1}$ per $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 8.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 9

Scrivi $\cos^{2} (x)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{1}}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 10

Somma le frazioni.

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Passaggio 10.1

Per scrivere $\frac{\cos^{2} (x)}{1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 10.2

Moltiplica $\frac{\cos^{2} (x)}{1}$ per $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 10.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 11

Moltiplica ${\cos (x)}^{2}$ per ${\cos (x)}^{2}$ sommando gli esponenti.

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 12

Applica l'identità pitagorica al contrario.

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + (1 - \cos^{2} (x)) \cos^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{{\sin (x)}^{4} + (1 - {\cos (x)}^{2}) {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 13.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 13.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{\sin (x)}^{4} + 1 {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 13.2.2

Moltiplica ${\cos (x)}^{2}$ per $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 13.2.3

Moltiplica ${\cos (x)}^{2}$ per ${\cos (x)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 13.2.3.1

Sposta ${\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} - ({\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}) + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 13.2.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2 + 2} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 13.2.3.3

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{4} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 13.2.4

Somma $- {\cos (x)}^{4}$ e ${\cos (x)}^{4}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} + 0}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 13.2.5

Somma ${\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2}$ e $0$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 13.3

Moltiplica $\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ per $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{\sin^{4} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Passaggio 14

Ora considera il lato destro dell'equazione.

$\tan^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Passaggio 15

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 15.1

Scrivi $\tan (x)$ in seno e coseno usando l'identità quoziente.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + \csc^{2} (x)$

Passaggio 15.2

Applica l'identità reciproca a $\csc (x)$ .

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Passaggio 15.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Passaggio 15.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 16

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 17

Somma le frazioni.

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Passaggio 17.1

Per scrivere $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 17.2

Per scrivere $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 17.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 17.3.1

Moltiplica $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ per $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 17.3.2

Moltiplica $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ per $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}$

Passaggio 17.3.3

Riordina i fattori di $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Passaggio 17.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Passaggio 18

Moltiplica ${\sin (x)}^{2}$ per ${\sin (x)}^{2}$ sommando gli esponenti.

$\frac{\sin^{4} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Passaggio 19

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\sec^{2} (x) + \cot^{2} (x) = \tan^{2} (x) + \csc^{2} (x)$ è un'identità