Trigonometria Esempi

$2 \cos^{2} (2 θ) = 1 - \cos (2 θ)$

Passaggio 1

Sostituisci $u$ a $\cos (2 θ)$ .

$2 {(u)}^{2} = 1 - (u)$

Passaggio 2

Somma $u$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 u^{2} + u = 1$

Passaggio 3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 u^{2} + u - 1 = 0$

Passaggio 4

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e la cui somma è $b = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica per $1$ .

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

Passaggio 4.1.2

Riscrivi $1$ come $- 1$ più $2$ .

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

Passaggio 4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Passaggio 4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Passaggio 4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

Passaggio 4.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

Passaggio 5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Passaggio 6

Imposta $2 u - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $2 u - 1$ uguale a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $2 u - 1 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 u = 1$

Passaggio 6.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = 1$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Passaggio 7

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

Passaggio 7.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 1$

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ vera.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Passaggio 9

Sostituisci $\cos (2 θ)$ a $u$ .

$\cos (2 θ) = \frac{1}{2}, - 1$

Passaggio 10

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $θ$ .

$\cos (2 θ) = \frac{1}{2}$

$\cos (2 θ) = - 1$

Passaggio 11

Risolvi per $θ$ in $\cos (2 θ) = \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$2 θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Passaggio 11.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{1}{2})$ è $60$ .

$2 θ = 60$

Passaggio 11.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 θ = 60$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 θ = 60$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{60}{2}$

Passaggio 11.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{60}{2}$

Passaggio 11.3.2.1.2

Dividi $θ$ per $1$ .

$θ = \frac{60}{2}$

Passaggio 11.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.3.1

Dividi $60$ per $2$ .

$θ = 30$

Passaggio 11.4

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $360$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$2 θ = 360 - 60$

Passaggio 11.5

Risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Sottrai $60$ da $360$ .

$2 θ = 300$

Passaggio 11.5.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 θ = 300$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 θ = 300$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{300}{2}$

Passaggio 11.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{300}{2}$

Passaggio 11.5.2.2.1.2

Dividi $θ$ per $1$ .

$θ = \frac{300}{2}$

Passaggio 11.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.2.3.1

Dividi $300$ per $2$ .

$θ = 150$

Passaggio 11.6

Trova il periodo di $\cos (2 θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 11.6.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 2 |}$

Passaggio 11.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{360}{2}$

Passaggio 11.6.4

Dividi $360$ per $2$ .

$180$

Passaggio 11.7

Il periodo della funzione $\cos (2 θ)$ è $180$ , quindi i valori si ripetono ogni $180$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 30 + 180 n, 150 + 180 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 12

Risolvi per $θ$ in $\cos (2 θ) = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$2 θ = \arccos (- 1)$

Passaggio 12.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Il valore esatto di $\arccos (- 1)$ è $180$ .

$2 θ = 180$

Passaggio 12.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 θ = 180$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 θ = 180$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

Passaggio 12.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

Passaggio 12.3.2.1.2

Dividi $θ$ per $1$ .

$θ = \frac{180}{2}$

Passaggio 12.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.3.1

Dividi $180$ per $2$ .

$θ = 90$

Passaggio 12.4

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $360$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$2 θ = 360 - 180$

Passaggio 12.5

Risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Sottrai $180$ da $360$ .

$2 θ = 180$

Passaggio 12.5.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 θ = 180$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 θ = 180$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

Passaggio 12.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

Passaggio 12.5.2.2.1.2

Dividi $θ$ per $1$ .

$θ = \frac{180}{2}$

Passaggio 12.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.2.3.1

Dividi $180$ per $2$ .

$θ = 90$

Passaggio 12.6

Trova il periodo di $\cos (2 θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 12.6.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 2 |}$

Passaggio 12.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{360}{2}$

Passaggio 12.6.4

Dividi $360$ per $2$ .

$180$

Passaggio 12.7

Il periodo della funzione $\cos (2 θ)$ è $180$ , quindi i valori si ripetono ogni $180$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 90 + 180 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 13

Elenca tutte le soluzioni.

$θ = 30 + 180 n, 150 + 180 n, 90 + 180 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 14

Consolida le risposte.

$θ = 30 + 60 n$ , per qualsiasi intero $n$