Trigonometria Esempi

$\frac{6 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

Passaggio 1

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $3$ da $6 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$ .

$\frac{3 (2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

Passaggio 1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6})}$

Passaggio 2

Moltiplica il numeratore e il denominatore di $\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{0.8660254 + 0.5 i}$ per il coniugato di $0.8660254 + 0.5 i$ per rendere il denominatore reale.

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{0.8660254 + 0.5 i} \cdot \frac{0.8660254 - 0.5 i}{0.8660254 - 0.5 i}$

Passaggio 3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina.

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 3.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 3.2.1.3

$i$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 3.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 3.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(1 + i \sqrt{3}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 3.2.5

Espandi $(1 + i \sqrt{3}) (0.8660254 - 0.5 i)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (0.8660254 - 0.5 i) + i \sqrt{3} (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 3.2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \cdot 0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 3.2.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \cdot 0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 3.2.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1.1

Moltiplica $0.8660254$ per $1$ .

$\frac{0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 3.2.6.1.2

Moltiplica $- 0.5 i$ per $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 3.2.6.1.3

Moltiplica $0.8660254$ per $\sqrt{3}$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + i \cdot 1.5 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 3.2.6.1.4

Sposta $1.5$ alla sinistra di $i$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 \cdot i + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 3.2.6.1.5

Moltiplica $i \sqrt{3} (- 0.5 i)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1.5.1

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 (i^{1} i))}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 3.2.6.1.5.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 (i^{1} i^{1}))}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 3.2.6.1.5.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 i^{1 + 1})}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 3.2.6.1.5.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 i^{2})}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 3.2.6.1.5.5

Moltiplica $- 0.5$ per $\sqrt{3}$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i - 0.8660254 i^{2}}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 3.2.6.1.6

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i - 0.8660254 \cdot - 1}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 3.2.6.1.7

Moltiplica $- 0.8660254$ per $- 1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + 0.8660254}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 3.2.6.2

Somma $0.8660254$ e $0.8660254$ .

$\frac{1.7320508 - 0.5 i + 1.5 i}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 3.2.6.3

Somma $- 0.5 i$ e $1.5 i$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 3.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Espandi $(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 (0.8660254 - 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 3.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $0.8660254$ per $0.8660254$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $- 0.5$ per $0.8660254$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Passaggio 3.3.2.3

Moltiplica $0.8660254$ per $0.5$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Passaggio 3.3.2.4

Moltiplica $- 0.5$ per $0.5$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i i}$

Passaggio 3.3.2.5

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i)}$

Passaggio 3.3.2.6

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i^{1})}$

Passaggio 3.3.2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{1 + 1}}$

Passaggio 3.3.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{2}}$

Passaggio 3.3.2.9

Somma $- 0.4330127 i$ e $0.4330127 i$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 i - 0.25 i^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Moltiplica $0$ per $i$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 - 0.25 i^{2}}$

Passaggio 3.3.3.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 - 0.25 \cdot - 1}$

Passaggio 3.3.3.3

Moltiplica $- 0.25$ per $- 1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 + 0.25}$

Passaggio 3.3.4

Somma $0.75$ e $0$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0.25}$

Passaggio 3.3.5

Somma $0.75$ e $0.25$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

Passaggio 4

Riscrivi $1.7320508$ come $1 (1.7320508)$ .

$\frac{1 (1.7320508) + 1 i}{1}$

Passaggio 5

Scomponi $1$ da $1 i$ .

$\frac{1 (1.7320508) + 1 (1 i)}{1}$

Passaggio 6

Scomponi $1$ da $1 (1.7320508) + 1 (1 i)$ .

$\frac{1 (1.7320508 + 1 i)}{1}$

Passaggio 7

Scomponi $1$ da $1$ .

$\frac{1 (1.7320508 + 1 i)}{1 (1)}$

Passaggio 8

Frazioni separate.

$\frac{1}{1} \cdot \frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

Passaggio 9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Dividi $1$ per $1$ .

$1 \frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

Passaggio 9.2

Dividi $1.7320508 + 1 i$ per $1$ .

$1 (1.7320508 + 1 i)$

Passaggio 10

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot 1.7320508 + 1 (1 i)$

Passaggio 11

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Moltiplica $1$ per $1.7320508$ .

$1.7320508 + 1 (1 i)$

Passaggio 11.2

Moltiplica $1$ per $1$ .

$1.7320508 + 1 i$

Passaggio 12

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 13

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 14

Sostituisci i valori effettivi di $a = 1.7320508$ e $b = 1$ .

$| z | = \sqrt{1^{2} + {1.7320508}^{2}}$

Passaggio 15

Trova $| z |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{1 + {1.7320508}^{2}}$

Passaggio 15.2

Eleva $1.7320508$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{1 + 3}$

Passaggio 15.3

Somma $1$ e $3$ .

$| z | = \sqrt{4}$

Passaggio 15.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 15.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| z | = 2$

Passaggio 16

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{1}{1.7320508})$

Passaggio 17

Poiché l'inverso della tangente di $\frac{1}{1.7320508}$ produce un angolo nel primo quadrante, il valore dell'angolo è $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Passaggio 18

Sostituisci i valori di $θ = \frac{π}{6}$ e $| z | = 2$ .

$2 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$