Trigonometria Esempi

$\sec^{2} (θ) - 6 \sec (θ) + 8 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Sia $u = \sec (θ)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $\sec (θ)$ con $u$ .

$u^{2} - 6 u + 8 = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi $u^{2} - 6 u + 8$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $8$ e la cui somma è $- 6$ .

$- 4, - 2$

Passaggio 1.2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(u - 4) (u - 2) = 0$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sec (θ)$ .

$(\sec (θ) - 4) (\sec (θ) - 2) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sec (θ) - 4 = 0$

$\sec (θ) - 2 = 0$

Passaggio 3

Imposta $\sec (θ) - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $\sec (θ) - 4$ uguale a $0$ .

$\sec (θ) - 4 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $\sec (θ) - 4 = 0$ per $θ$ .

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Passaggio 3.2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\sec (θ) = 4$

Passaggio 3.2.2

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $θ$ dall'interno della secante.

$θ = arcsec (4)$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.3.1

Calcola $arcsec (4)$ .

$θ = 75.52248781$

Passaggio 3.2.4

La funzione secante è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $360$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = 360 - 75.52248781$

Passaggio 3.2.5

Sottrai $75.52248781$ da $360$ .

$θ = 284.47751218$

Passaggio 3.2.6

Trova il periodo di $\sec (θ)$ .

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Passaggio 3.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 3.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{360}{1}$

Passaggio 3.2.6.4

Dividi $360$ per $1$ .

$360$

Passaggio 3.2.7

Il periodo della funzione $\sec (θ)$ è $360$ , quindi i valori si ripetono ogni $360$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Imposta $\sec (θ) - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $\sec (θ) - 2$ uguale a $0$ .

$\sec (θ) - 2 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\sec (θ) - 2 = 0$ per $θ$ .

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Passaggio 4.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\sec (θ) = 2$

Passaggio 4.2.2

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $θ$ dall'interno della secante.

$θ = arcsec (2)$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.3.1

Il valore esatto di $arcsec (2)$ è $60$ .

$θ = 60$

Passaggio 4.2.4

La funzione secante è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $360$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = 360 - 60$

Passaggio 4.2.5

Sottrai $60$ da $360$ .

$θ = 300$

Passaggio 4.2.6

Trova il periodo di $\sec (θ)$ .

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Passaggio 4.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 4.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{360}{1}$

Passaggio 4.2.6.4

Dividi $360$ per $1$ .

$360$

Passaggio 4.2.7

Il periodo della funzione $\sec (θ)$ è $360$ , quindi i valori si ripetono ogni $360$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(\sec (θ) - 4) (\sec (θ) - 2) = 0$ vera.

$θ = 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n, 60 + 360 n, 300 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$