Trigonometria Esempi

$4 \csc^{2} (θ) - 25 = 0$

Passaggio 1

Somma $25$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 \csc^{2} (θ) = 25$

Passaggio 2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 \csc^{2} (θ) = 25$ e semplifica.

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Passaggio 2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 \csc^{2} (θ) = 25$ .

$\frac{4 \csc^{2} (θ)}{4} = \frac{25}{4}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \csc^{2} (θ)}{4} = \frac{25}{4}$

Passaggio 2.2.1.2

Dividi $\csc^{2} (θ)$ per $1$ .

$\csc^{2} (θ) = \frac{25}{4}$

Passaggio 3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\csc (θ) = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

Passaggio 4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{25}{4}}$ come $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ .

$\csc (θ) = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\csc (θ) = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 4.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\csc (θ) = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

Passaggio 4.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\csc (θ) = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 4.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\csc (θ) = \pm \frac{5}{2}$

Passaggio 5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\csc (θ) = \frac{5}{2}$

Passaggio 5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\csc (θ) = - \frac{5}{2}$

Passaggio 5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\csc (θ) = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Passaggio 6

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $θ$ .

$\csc (θ) = \frac{5}{2}$

$\csc (θ) = - \frac{5}{2}$

Passaggio 7

Risolvi per $θ$ in $\csc (θ) = \frac{5}{2}$ .

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Passaggio 7.1

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $θ$ dalla cosecante.

$θ = arccsc (\frac{5}{2})$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.2.1

Calcola $arccsc (\frac{5}{2})$ .

$θ = 23.57817847$

Passaggio 7.3

La funzione della cosecante è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$θ = 180 - 23.57817847$

Passaggio 7.4

Sottrai $23.57817847$ da $180$ .

$θ = 156.42182152$

Passaggio 7.5

Trova il periodo di $\csc (θ)$ .

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Passaggio 7.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 7.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 1 |}$

Passaggio 7.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{360}{1}$

Passaggio 7.5.4

Dividi $360$ per $1$ .

$360$

Passaggio 7.6

Il periodo della funzione $\csc (θ)$ è $360$ , quindi i valori si ripetono ogni $360$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 23.57817847 + 360 n, 156.42182152 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Risolvi per $θ$ in $\csc (θ) = - \frac{5}{2}$ .

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Passaggio 8.1

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $θ$ dalla cosecante.

$θ = arccsc (- \frac{5}{2})$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.2.1

Calcola $arccsc (- \frac{5}{2})$ .

$θ = - 23.57817847$

Passaggio 8.3

La funzione della cosecante è negativa nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $360$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $180$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$θ = 360 + 23.57817847 + 180$

Passaggio 8.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 8.4.1

Sottrai $360 °$ da $360 + 23.57817847 + 180 °$ .

$θ = 360 + 23.57817847 + 180 ° - 360 °$

Passaggio 8.4.2

L'angolo risultante di $203.57817847 °$ è positivo, minore di $360 °$ e coterminale con $360 + 23.57817847 + 180$ .

$θ = 203.57817847 °$

Passaggio 8.5

Trova il periodo di $\csc (θ)$ .

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Passaggio 8.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 8.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 1 |}$

Passaggio 8.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{360}{1}$

Passaggio 8.5.4

Dividi $360$ per $1$ .

$360$

Passaggio 8.6

Somma $360$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 8.6.1

Somma $360$ a $- 23.57817847$ per trovare l'angolo positivo.

$- 23.57817847 + 360$

Passaggio 8.6.2

Sottrai $23.57817847$ da $360$ .

$336.42182152$

Passaggio 8.6.3

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$θ = 336.42182152$

Passaggio 8.7

Il periodo della funzione $\csc (θ)$ è $360$ , quindi i valori si ripetono ogni $360$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 203.57817847 + 360 n, 336.42182152 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Elenca tutte le soluzioni.

$θ = 23.57817847 + 360 n, 156.42182152 + 360 n, 203.57817847 + 360 n, 336.42182152 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10

Consolida le soluzioni.

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Passaggio 10.1

Combina $23.57817847 + 360 n$ e $203.57817847 + 360 n$ in $23.57817847 + 180 n$ .

$θ = 23.57817847 + 180 n, 156.42182152 + 360 n, 336.42182152 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10.2

Combina $156.42182152 + 360 n$ e $336.42182152 + 360 n$ in $156.42182152 + 180 n$ .

$θ = 23.57817847 + 180 n, 156.42182152 + 180 n$ , per qualsiasi intero $n$