Trigonometria Esempi

$\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Passaggio 1

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 2

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 3

Sostituisci i valori effettivi di $a = \frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ e $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)})}^{2}}$

Passaggio 4

Trova $| z |$ .

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Passaggio 4.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)})}^{2}}$

Passaggio 4.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 - \cos (2 x))}^{2}}{\sin^{2} (2 x)}}$

Passaggio 4.3

Moltiplica per $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 - \cos (2 x))}^{2}}{\sin^{2} (2 x) \cdot 1}}$

Passaggio 4.4

Frazioni separate.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 - \cos (2 x))}^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (2 x)}}$

Passaggio 4.5

Converti da $\frac{1}{\sin^{2} (2 x)}$ a $\csc^{2} (2 x)$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 - \cos (2 x))}^{2}}{1} \cdot \csc^{2} (2 x)}$

Passaggio 4.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.6.1

Dividi ${(1 - \cos (2 x))}^{2}$ per $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(1 - \cos (2 x))}^{2} \csc^{2} (2 x)}$

Passaggio 4.6.2

Riscrivi ${(1 - \cos (2 x))}^{2}$ come $(1 - \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

Passaggio 4.7

Espandi $(1 - \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$| z | = \sqrt{0 + (1 (1 - \cos (2 x)) - \cos (2 x) (1 - \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

Passaggio 4.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) (1 - \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

Passaggio 4.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \cdot 1 - \cos (2 x) (- \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

Passaggio 4.8

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.8.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.8.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + 1 (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \cdot 1 - \cos (2 x) (- \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

Passaggio 4.8.1.2

Moltiplica $- \cos (2 x)$ per $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) \cdot 1 - \cos (2 x) (- \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

Passaggio 4.8.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

Passaggio 4.8.1.4

Moltiplica $- \cos (2 x) (- \cos (2 x))$ .

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Passaggio 4.8.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + 1 \cos (2 x) \cos (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

Passaggio 4.8.1.4.2

Moltiplica $\cos (2 x)$ per $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + \cos (2 x) \cos (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

Passaggio 4.8.1.4.3

Eleva $\cos (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + \cos (2 x) \cos (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

Passaggio 4.8.1.4.4

Eleva $\cos (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + \cos (2 x) \cos (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

Passaggio 4.8.1.4.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + {\cos (2 x)}^{1 + 1}) \csc^{2} (2 x)}$

Passaggio 4.8.1.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + \cos^{2} (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

Passaggio 4.8.2

Sottrai $\cos (2 x)$ da $- \cos (2 x)$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - 2 \cos (2 x) + \cos^{2} (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

Passaggio 4.9

Applica la proprietà distributiva.

$| z | = \sqrt{0 + 1 \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) \csc^{2} (2 x)}$

Passaggio 4.10

Semplifica.

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Passaggio 4.10.1

Moltiplica $\csc^{2} (2 x)$ per $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) \csc^{2} (2 x)}$

Passaggio 4.10.2

Riscrivi $\csc (2 x)$ in termini di seno e coseno.

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) {(\frac{1}{\sin (2 x)})}^{2}}$

Passaggio 4.10.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\sin (2 x)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) (\frac{1^{2}}{\sin^{2} (2 x)})}$

Passaggio 4.10.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) (\frac{1}{\sin^{2} (2 x)})}$

Passaggio 4.10.5

$\cos^{2} (2 x)$ e $\frac{1}{\sin^{2} (2 x)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}}$

Passaggio 4.11

Converti da $\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}$ a $\cot^{2} (2 x)$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cot^{2} (2 x)}$

Passaggio 4.12

Somma $0$ e $\csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cot^{2} (2 x)$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cot^{2} (2 x)}$

Passaggio 5

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}})$

Passaggio 6

Sostituisci i valori di $θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}})$ e $| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cot^{2} (2 x)}$ .

$\sqrt{\csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cot^{2} (2 x)} (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}})))$