Trigonometria Esempi

$- \frac{1}{1 + i}$

Passaggio 1

Moltiplica il numeratore e il denominatore di $\frac{1}{1 + 1 i}$ per il coniugato di $1 + 1 i$ per rendere il denominatore reale.

$- (\frac{1}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i})$

Passaggio 2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Combina.

$- \frac{1 (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Passaggio 2.2

Moltiplica $1 - i$ per $1$ .

$- \frac{1 - i}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Passaggio 2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Espandi $(1 + 1 i) (1 - i)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1 - i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)}$

Passaggio 2.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)}$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Passaggio 2.3.2.3

Moltiplica $1$ per $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)}$

Passaggio 2.3.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i i}$

Passaggio 2.3.2.5

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)}$

Passaggio 2.3.2.6

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})}$

Passaggio 2.3.2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}}$

Passaggio 2.3.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}}$

Passaggio 2.3.2.9

Somma $- 1 i$ e $1 i$ .

$- \frac{1 - i}{1 + 0 - i^{2}}$

Passaggio 2.3.2.10

Somma $1$ e $0$ .

$- \frac{1 - i}{1 - i^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - - 1}$

Passaggio 2.3.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{1 - i}{1 + 1}$

Passaggio 2.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{1 - i}{2}$

Passaggio 3

Dividi la frazione $\frac{1 - i}{2}$ in due frazioni.

$- (\frac{1}{2} + \frac{- i}{2})$

Passaggio 4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- (\frac{1}{2} - \frac{i}{2})$

Passaggio 5

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1}{2} - - \frac{i}{2}$

Passaggio 6

Moltiplica $- - \frac{i}{2}$ .

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{2} + 1 \frac{i}{2}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $\frac{i}{2}$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$

Passaggio 7

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 8

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 9

Sostituisci i valori effettivi di $a = - \frac{1}{2}$ e $b = \frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 10

Trova $| z |$ .

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Passaggio 10.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 10.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 10.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 10.4

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 10.4.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 10.4.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})}$

Passaggio 10.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 10.5.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + 1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}$

Passaggio 10.5.2

Moltiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 10.5.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{2^{2}}}$

Passaggio 10.5.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

Passaggio 10.5.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 1}{4}}$

Passaggio 10.5.6

Somma $1$ e $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2}{4}}$

Passaggio 10.6

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

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Passaggio 10.6.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2 (1)}{4}}$

Passaggio 10.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 10.6.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 10.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$| z | = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 10.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2}}$

Passaggio 10.7

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{2}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 10.8

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 10.9

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 10.10

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 10.10.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 10.10.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 10.10.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 10.10.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 10.10.5

Somma $1$ e $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 10.10.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 10.10.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 10.10.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 10.10.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 10.10.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 10.10.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 10.10.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 10.10.6.5

Calcola l'esponente.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 11

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{\frac{1}{2}}{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 12

Poiché l'inverso della tangente di $\frac{\frac{1}{2}}{- \frac{1}{2}}$ produce un angolo nel secondo quadrante, il valore dell'angolo è $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 13

Sostituisci i valori di $θ = \frac{3 π}{4}$ e $| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))}$