Trigonometria Esempi

$\frac{1 - \sin (t)}{\cos^{2} (t)} + \frac{1}{1 - \sin (t)} = 2 \sec^{2} (t)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\frac{1 - \sin (t)}{\cos^{2} (t)} + \frac{1}{1 - \sin (t)}$

Passaggio 2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.1

Per scrivere $\frac{1 - \sin (t)}{\cos^{2} (t)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 - \sin (t)}{1 - \sin (t)}$ .

$\frac{1 - \sin (t)}{\cos^{2} (t)} \cdot \frac{1 - \sin (t)}{1 - \sin (t)} + \frac{1}{1 - \sin (t)}$

Passaggio 2.2

Per scrivere $\frac{1}{1 - \sin (t)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ .

$\frac{1 - \sin (t)}{\cos^{2} (t)} \cdot \frac{1 - \sin (t)}{1 - \sin (t)} + \frac{1}{1 - \sin (t)} \cdot \frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$

Passaggio 2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(1 - \sin (t)) \cos^{2} (t)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\frac{1 - \sin (t)}{\cos^{2} (t)}$ per $\frac{1 - \sin (t)}{1 - \sin (t)}$ .

$\frac{(1 - \sin (t)) (1 - \sin (t))}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))} + \frac{1}{1 - \sin (t)} \cdot \frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{1}{1 - \sin (t)}$ per $\frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ .

$\frac{(1 - \sin (t)) (1 - \sin (t))}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))} + \frac{\cos^{2} (t)}{(1 - \sin (t)) \cos^{2} (t)}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i fattori di $(1 - \sin (t)) \cos^{2} (t)$ .

$\frac{(1 - \sin (t)) (1 - \sin (t))}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))} + \frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(1 - \sin (t)) (1 - \sin (t)) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Passaggio 2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.5.1

Espandi $(1 - \sin (t)) (1 - \sin (t))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (1 - \sin (t)) - \sin (t) (1 - \sin (t)) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Passaggio 2.5.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (t)) - \sin (t) (1 - \sin (t)) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Passaggio 2.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (t)) - \sin (t) \cdot 1 - \sin (t) (- \sin (t)) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.5.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1 + 1 (- \sin (t)) - \sin (t) \cdot 1 - \sin (t) (- \sin (t)) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Passaggio 2.5.2.1.2

Moltiplica $- \sin (t)$ per $1$ .

$\frac{1 - \sin (t) - \sin (t) \cdot 1 - \sin (t) (- \sin (t)) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Passaggio 2.5.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - \sin (t) - \sin (t) - \sin (t) (- \sin (t)) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Passaggio 2.5.2.1.4

Moltiplica $- \sin (t) (- \sin (t))$ .

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Passaggio 2.5.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1 - \sin (t) - \sin (t) + 1 \sin (t) \sin (t) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Passaggio 2.5.2.1.4.2

Moltiplica $\sin (t)$ per $1$ .

$\frac{1 - \sin (t) - \sin (t) + \sin (t) \sin (t) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Passaggio 2.5.2.1.4.3

Eleva $\sin (t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 - \sin (t) - \sin (t) + \sin^{1} (t) \sin (t) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Passaggio 2.5.2.1.4.4

Eleva $\sin (t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 - \sin (t) - \sin (t) + \sin^{1} (t) \sin^{1} (t) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Passaggio 2.5.2.1.4.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1 - \sin (t) - \sin (t) + {\sin (t)}^{1 + 1} + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Passaggio 2.5.2.1.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1 - \sin (t) - \sin (t) + \sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Passaggio 2.5.2.2

Sottrai $\sin (t)$ da $- \sin (t)$ .

$\frac{1 - 2 \sin (t) + \sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Passaggio 2.5.3

Riscrivi $1 - 2 \sin (t) + \sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 2.5.3.1

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{1 - 2 \sin (t) + 1}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Passaggio 2.5.3.2

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 - 2 \sin (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Passaggio 2.5.3.3

Scomponi $2$ da $2 - 2 \sin (t)$ .

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Passaggio 2.5.3.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1) - 2 \sin (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Passaggio 2.5.3.3.2

Scomponi $2$ da $- 2 \sin (t)$ .

$\frac{2 (1) + 2 (- \sin (t))}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Passaggio 2.5.3.3.3

Scomponi $2$ da $2 (1) + 2 (- \sin (t))$ .

$\frac{2 (1 - \sin (t))}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Passaggio 2.6

Elimina il fattore comune di $1 - \sin (t)$ .

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Passaggio 2.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (1 - \sin (t))}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Passaggio 2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{\cos^{2} (t)}$

Passaggio 3

Riscrivi $\frac{2}{\cos^{2} (t)}$ come $2 \sec^{2} (t)$ .

$2 \sec^{2} (t)$

Passaggio 4

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{1 - \sin (t)}{\cos^{2} (t)} + \frac{1}{1 - \sin (t)} = 2 \sec^{2} (t)$ è un'identità