Trigonometria Esempi

\frac{1 + cos (2 y)}{sin (2 y)}

$\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}$

Passaggio 1

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove

| z |

$| z |$ è il modulo e

θ

$θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

z = a + b i = | z | (cos (θ) + i sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 2

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove

z = a + b i

$z = a + b i$

Passaggio 3

Sostituisci i valori effettivi di

a = \frac{1 + cos (2 y)}{sin (2 y)}

$a = \frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}$ e

b = 0

$b = 0$ .

| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{1 + cos (2 y)}{sin (2 y)})}^{2}}

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)})}^{2}}$

Passaggio 4

Trova

| z |

$| z |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Elevando

0

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

0

$0$ .

| z | = \sqrt{0 + {(\frac{1 + cos (2 y)}{sin (2 y)})}^{2}}

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)})}^{2}}$

Passaggio 4.2

Applica la regola del prodotto a

\frac{1 + cos (2 y)}{sin (2 y)}

$\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}$ .

| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + cos (2 y))}^{2}}{{sin}^{2} (2 y)}}

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{\sin^{2} (2 y)}}$

Passaggio 4.3

Moltiplica per

1

$1$ .

| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + cos (2 y))}^{2}}{{sin}^{2} (2 y) \cdot 1}}

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{\sin^{2} (2 y) \cdot 1}}$

Passaggio 4.4

Frazioni separate.

| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + cos (2 y))}^{2}}{1} \cdot \frac{1}{{sin}^{2} (2 y)}}

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (2 y)}}$

Passaggio 4.5

Converti da

\frac{1}{{sin}^{2} (2 y)}

$\frac{1}{\sin^{2} (2 y)}$ a

{csc}^{2} (2 y)

$\csc^{2} (2 y)$ .

| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + cos (2 y))}^{2}}{1} \cdot {csc}^{2} (2 y)}

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{1} \cdot \csc^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Dividi

{(1 + cos (2 y))}^{2}

${(1 + \cos (2 y))}^{2}$ per

1

$1$ .

| z | = \sqrt{0 + {(1 + cos (2 y))}^{2} {csc}^{2} (2 y)}

$| z | = \sqrt{0 + {(1 + \cos (2 y))}^{2} \csc^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.6.2

Riscrivi

{(1 + cos (2 y))}^{2}

${(1 + \cos (2 y))}^{2}$ come

(1 + cos (2 y)) (1 + cos (2 y))

$(1 + \cos (2 y)) (1 + \cos (2 y))$ .

| z | = \sqrt{0 + (1 + cos (2 y)) (1 + cos (2 y)) {csc}^{2} (2 y)}

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y)) (1 + \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

| z | = \sqrt{0 + (1 + cos (2 y)) (1 + cos (2 y)) {csc}^{2} (2 y)}

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y)) (1 + \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.7

Espandi

(1 + cos (2 y)) (1 + cos (2 y))

$(1 + \cos (2 y)) (1 + \cos (2 y))$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Applica la proprietà distributiva.

| z | = \sqrt{0 + (1 (1 + cos (2 y)) + cos (2 y) (1 + cos (2 y))) {csc}^{2} (2 y)}

$| z | = \sqrt{0 + (1 (1 + \cos (2 y)) + \cos (2 y) (1 + \cos (2 y))) \csc^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.7.2

Applica la proprietà distributiva.

| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 cos (2 y) + cos (2 y) (1 + cos (2 y))) {csc}^{2} (2 y)}

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 \cos (2 y) + \cos (2 y) (1 + \cos (2 y))) \csc^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.7.3

Applica la proprietà distributiva.

| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 cos (2 y) + cos (2 y) \cdot 1 + cos (2 y) cos (2 y)) {csc}^{2} (2 y)}

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 \cos (2 y) + \cos (2 y) \cdot 1 + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 cos (2 y) + cos (2 y) \cdot 1 + cos (2 y) cos (2 y)) {csc}^{2} (2 y)}

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 \cos (2 y) + \cos (2 y) \cdot 1 + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.8

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1.1

Moltiplica

1

$1$ per

1

$1$ .

| z | = \sqrt{0 + (1 + 1 cos (2 y) + cos (2 y) \cdot 1 + cos (2 y) cos (2 y)) {csc}^{2} (2 y)}

$| z | = \sqrt{0 + (1 + 1 \cos (2 y) + \cos (2 y) \cdot 1 + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.8.1.2

Moltiplica

cos (2 y)

$\cos (2 y)$ per

1

$1$ .

| z | = \sqrt{0 + (1 + cos (2 y) + cos (2 y) \cdot 1 + cos (2 y) cos (2 y)) {csc}^{2} (2 y)}

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cdot 1 + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.8.1.3

Moltiplica

cos (2 y)

$\cos (2 y)$ per

1

$1$ .

| z | = \sqrt{0 + (1 + cos (2 y) + cos (2 y) + cos (2 y) cos (2 y)) {csc}^{2} (2 y)}

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.8.1.4

Moltiplica

cos (2 y) cos (2 y)

$\cos (2 y) \cos (2 y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1.4.1

Eleva

cos (2 y)

$\cos (2 y)$ alla potenza di

1

$1$ .

| z | = \sqrt{0 + (1 + cos (2 y) + cos (2 y) + cos (2 y) cos (2 y)) {csc}^{2} (2 y)}

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.8.1.4.2

Eleva

cos (2 y)

$\cos (2 y)$ alla potenza di

1

$1$ .

| z | = \sqrt{0 + (1 + cos (2 y) + cos (2 y) + cos (2 y) cos (2 y)) {csc}^{2} (2 y)}

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.8.1.4.3

Usa la regola della potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + {\cos (2 y)}^{1 + 1}) \csc^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.8.1.4.4

Somma

$1$ e

$1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos^{2} (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.8.2

Somma

$\cos (2 y)$ e

$\cos (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + 2 \cos (2 y) + \cos^{2} (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.9

Applica la proprietà distributiva.

$| z | = \sqrt{0 + 1 \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) \csc^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.1

Moltiplica

$\csc^{2} (2 y)$ per

$1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) \csc^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.10.2

Riscrivi

$\csc (2 y)$ in termini di seno e coseno.

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) {(\frac{1}{\sin (2 y)})}^{2}}$

Passaggio 4.10.3

Applica la regola del prodotto a

$\frac{1}{\sin (2 y)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) (\frac{1^{2}}{\sin^{2} (2 y)})}$

Passaggio 4.10.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) (\frac{1}{\sin^{2} (2 y)})}$

Passaggio 4.10.5

$\cos^{2} (2 y)$ e

$\frac{1}{\sin^{2} (2 y)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \frac{\cos^{2} (2 y)}{\sin^{2} (2 y)}}$

Passaggio 4.11

Converti da

$\frac{\cos^{2} (2 y)}{\sin^{2} (2 y)}$ a

$\cot^{2} (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.12

Somma

$0$ e

$\csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.13

Riscrivi

$\csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.1

Riscrivi il termine centrale.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \csc (2 y) \cot (2 y) + 0 + \cot^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.13.2

Rimetti in ordine i termini.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

Passaggio 4.13.3

Scomponi i primi tre termini con la regola dei quadrati perfetti.

$| z | = \sqrt{{(\csc (2 y) + \cot (2 y))}^{2} + 0}$

Passaggio 4.13.4

Riscrivi

${(\csc (2 y) + \cot (2 y))}^{2}$ come

$(\csc (2 y) + \cot (2 y)) (\csc (2 y) + \cot (2 y))$ .

$| z | = \sqrt{(\csc (2 y) + \cot (2 y)) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + 0}$

Passaggio 4.13.5

Espandi

$(\csc (2 y) + \cot (2 y)) (\csc (2 y) + \cot (2 y))$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + \cot (2 y) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + 0}$

Passaggio 4.13.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + 0}$

Passaggio 4.13.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Passaggio 4.13.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.6.1.1

Moltiplica

$\csc (2 y) \csc (2 y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.6.1.1.1

Eleva

$\csc (2 y)$ alla potenza di

$1$ .

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Passaggio 4.13.6.1.1.2

Eleva

$\csc (2 y)$ alla potenza di

$1$ .

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Passaggio 4.13.6.1.1.3

Usa la regola della potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$| z | = \sqrt{{\csc (2 y)}^{1 + 1} + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Passaggio 4.13.6.1.1.4

Somma

$1$ e

$1$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Passaggio 4.13.6.1.2

Moltiplica

$\cot (2 y) \cot (2 y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.6.1.2.1

Eleva

$\cot (2 y)$ alla potenza di

$1$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Passaggio 4.13.6.1.2.2

Eleva

$\cot (2 y)$ alla potenza di

$1$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Passaggio 4.13.6.1.2.3

Usa la regola della potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + {\cot (2 y)}^{1 + 1} + 0}$

Passaggio 4.13.6.1.2.4

Somma

$1$ e

$1$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

Passaggio 4.13.6.2

Riordina i fattori di

$\csc (2 y) \cot (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

Passaggio 4.13.6.3

Somma

$\cot (2 y) \csc (2 y)$ e

$\cot (2 y) \csc (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

Passaggio 4.13.7

Somma

$\csc^{2} (2 y) + 2 \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y)$ e

$0$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.13.8

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.8.1

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 \cot (2 y) \csc (2 y) = 2 \cdot \csc (2 y) \cdot \cot (2 y)$

Passaggio 4.13.8.2

Riscrivi il polinomio.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cdot \csc (2 y) \cdot \cot (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.13.8.3

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove

$a = \csc (2 y)$ e

$b = \cot (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{{(\csc (2 y) + \cot (2 y))}^{2}}$

Passaggio 4.14

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| z | = \csc (2 y) + \cot (2 y)$

Passaggio 5

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})$

Passaggio 6

Sostituisci i valori di

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})$ e

$| z | = \csc (2 y) + \cot (2 y)$ .

$\csc (2 y) + \cot (2 y) (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})))$