Trigonometria Esempi

$\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}$

Passaggio 1

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 2

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 3

Sostituisci i valori effettivi di $a = \frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}$ e $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)})}^{2}}$

Passaggio 4

Trova $| z |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)})}^{2}}$

Passaggio 4.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{\sin^{2} (2 y)}}$

Passaggio 4.3

Moltiplica per $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{\sin^{2} (2 y) \cdot 1}}$

Passaggio 4.4

Frazioni separate.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (2 y)}}$

Passaggio 4.5

Converti da $\frac{1}{\sin^{2} (2 y)}$ a $\csc^{2} (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{1} \cdot \csc^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Dividi ${(1 + \cos (2 y))}^{2}$ per $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(1 + \cos (2 y))}^{2} \csc^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.6.2

Riscrivi ${(1 + \cos (2 y))}^{2}$ come $(1 + \cos (2 y)) (1 + \cos (2 y))$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y)) (1 + \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.7

Espandi $(1 + \cos (2 y)) (1 + \cos (2 y))$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$| z | = \sqrt{0 + (1 (1 + \cos (2 y)) + \cos (2 y) (1 + \cos (2 y))) \csc^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 \cos (2 y) + \cos (2 y) (1 + \cos (2 y))) \csc^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 \cos (2 y) + \cos (2 y) \cdot 1 + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.8

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + 1 \cos (2 y) + \cos (2 y) \cdot 1 + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.8.1.2

Moltiplica $\cos (2 y)$ per $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cdot 1 + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.8.1.3

Moltiplica $\cos (2 y)$ per $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.8.1.4

Moltiplica $\cos (2 y) \cos (2 y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1.4.1

Eleva $\cos (2 y)$ alla potenza di $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.8.1.4.2

Eleva $\cos (2 y)$ alla potenza di $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.8.1.4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + {\cos (2 y)}^{1 + 1}) \csc^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.8.1.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos^{2} (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.8.2

Somma $\cos (2 y)$ e $\cos (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + 2 \cos (2 y) + \cos^{2} (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.9

Applica la proprietà distributiva.

$| z | = \sqrt{0 + 1 \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) \csc^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.1

Moltiplica $\csc^{2} (2 y)$ per $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) \csc^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.10.2

Riscrivi $\csc (2 y)$ in termini di seno e coseno.

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) {(\frac{1}{\sin (2 y)})}^{2}}$

Passaggio 4.10.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\sin (2 y)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) (\frac{1^{2}}{\sin^{2} (2 y)})}$

Passaggio 4.10.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) (\frac{1}{\sin^{2} (2 y)})}$

Passaggio 4.10.5

$\cos^{2} (2 y)$ e $\frac{1}{\sin^{2} (2 y)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \frac{\cos^{2} (2 y)}{\sin^{2} (2 y)}}$

Passaggio 4.11

Converti da $\frac{\cos^{2} (2 y)}{\sin^{2} (2 y)}$ a $\cot^{2} (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.12

Somma $0$ e $\csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.13

Riscrivi $\csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 4.13.1

Riscrivi il termine centrale.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \csc (2 y) \cot (2 y) + 0 + \cot^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.13.2

Rimetti in ordine i termini.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

Passaggio 4.13.3

Scomponi i primi tre termini con la regola dei quadrati perfetti.

$| z | = \sqrt{{(\csc (2 y) + \cot (2 y))}^{2} + 0}$

Passaggio 4.13.4

Riscrivi ${(\csc (2 y) + \cot (2 y))}^{2}$ come $(\csc (2 y) + \cot (2 y)) (\csc (2 y) + \cot (2 y))$ .

$| z | = \sqrt{(\csc (2 y) + \cot (2 y)) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + 0}$

Passaggio 4.13.5

Espandi $(\csc (2 y) + \cot (2 y)) (\csc (2 y) + \cot (2 y))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.13.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + \cot (2 y) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + 0}$

Passaggio 4.13.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + 0}$

Passaggio 4.13.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Passaggio 4.13.6

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.13.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.13.6.1.1

Moltiplica $\csc (2 y) \csc (2 y)$ .

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Passaggio 4.13.6.1.1.1

Eleva $\csc (2 y)$ alla potenza di $1$ .

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Passaggio 4.13.6.1.1.2

Eleva $\csc (2 y)$ alla potenza di $1$ .

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Passaggio 4.13.6.1.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$| z | = \sqrt{{\csc (2 y)}^{1 + 1} + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Passaggio 4.13.6.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Passaggio 4.13.6.1.2

Moltiplica $\cot (2 y) \cot (2 y)$ .

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Passaggio 4.13.6.1.2.1

Eleva $\cot (2 y)$ alla potenza di $1$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Passaggio 4.13.6.1.2.2

Eleva $\cot (2 y)$ alla potenza di $1$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

Passaggio 4.13.6.1.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + {\cot (2 y)}^{1 + 1} + 0}$

Passaggio 4.13.6.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

Passaggio 4.13.6.2

Riordina i fattori di $\csc (2 y) \cot (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

Passaggio 4.13.6.3

Somma $\cot (2 y) \csc (2 y)$ e $\cot (2 y) \csc (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

Passaggio 4.13.7

Somma $\csc^{2} (2 y) + 2 \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y)$ e $0$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.13.8

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 4.13.8.1

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 \cot (2 y) \csc (2 y) = 2 \cdot \csc (2 y) \cdot \cot (2 y)$

Passaggio 4.13.8.2

Riscrivi il polinomio.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cdot \csc (2 y) \cdot \cot (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

Passaggio 4.13.8.3

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = \csc (2 y)$ e $b = \cot (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{{(\csc (2 y) + \cot (2 y))}^{2}}$

Passaggio 4.14

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| z | = \csc (2 y) + \cot (2 y)$

Passaggio 5

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})$

Passaggio 6

Sostituisci i valori di $θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})$ e $| z | = \csc (2 y) + \cot (2 y)$ .

$\csc (2 y) + \cot (2 y) (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})))$