Trigonometria Esempi

$\csc^{2} (θ) + 2 \csc (θ) - 24 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Sia $u = \csc (θ)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $\csc (θ)$ con $u$ .

$u^{2} + 2 u - 24 = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi $u^{2} + 2 u - 24$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 24$ e la cui somma è $2$ .

$- 4, 6$

Passaggio 1.2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(u - 4) (u + 6) = 0$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\csc (θ)$ .

$(\csc (θ) - 4) (\csc (θ) + 6) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\csc (θ) - 4 = 0$

$\csc (θ) + 6 = 0$

Passaggio 3

Imposta $\csc (θ) - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $\csc (θ) - 4$ uguale a $0$ .

$\csc (θ) - 4 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $\csc (θ) - 4 = 0$ per $θ$ .

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Passaggio 3.2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\csc (θ) = 4$

Passaggio 3.2.2

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $θ$ dalla cosecante.

$θ = arccsc (4)$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.3.1

Calcola $arccsc (4)$ .

$θ = 14.47751218$

Passaggio 3.2.4

La funzione della cosecante è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$θ = 180 - 14.47751218$

Passaggio 3.2.5

Sottrai $14.47751218$ da $180$ .

$θ = 165.52248781$

Passaggio 3.2.6

Trova il periodo di $\csc (θ)$ .

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Passaggio 3.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 3.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{360}{1}$

Passaggio 3.2.6.4

Dividi $360$ per $1$ .

$360$

Passaggio 3.2.7

Il periodo della funzione $\csc (θ)$ è $360$ , quindi i valori si ripetono ogni $360$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 14.47751218 + 360 n, 165.52248781 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Imposta $\csc (θ) + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $\csc (θ) + 6$ uguale a $0$ .

$\csc (θ) + 6 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\csc (θ) + 6 = 0$ per $θ$ .

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\csc (θ) = - 6$

Passaggio 4.2.2

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $θ$ dalla cosecante.

$θ = arccsc (- 6)$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.3.1

Calcola $arccsc (- 6)$ .

$θ = - 9.59406822$

Passaggio 4.2.4

La funzione della cosecante è negativa nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $360$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $180$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$θ = 360 + 9.59406822 + 180$

Passaggio 4.2.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 4.2.5.1

Sottrai $360 °$ da $360 + 9.59406822 + 180 °$ .

$θ = 360 + 9.59406822 + 180 ° - 360 °$

Passaggio 4.2.5.2

L'angolo risultante di $189.59406822 °$ è positivo, minore di $360 °$ e coterminale con $360 + 9.59406822 + 180$ .

$θ = 189.59406822 °$

Passaggio 4.2.6

Trova il periodo di $\csc (θ)$ .

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Passaggio 4.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 4.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{360}{1}$

Passaggio 4.2.6.4

Dividi $360$ per $1$ .

$360$

Passaggio 4.2.7

Somma $360$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 4.2.7.1

Somma $360$ a $- 9.59406822$ per trovare l'angolo positivo.

$- 9.59406822 + 360$

Passaggio 4.2.7.2

Sottrai $9.59406822$ da $360$ .

$350.40593177$

Passaggio 4.2.7.3

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$θ = 350.40593177$

Passaggio 4.2.8

Il periodo della funzione $\csc (θ)$ è $360$ , quindi i valori si ripetono ogni $360$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 189.59406822 + 360 n, 350.40593177 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(\csc (θ) - 4) (\csc (θ) + 6) = 0$ vera.

$θ = 14.47751218 + 360 n, 165.52248781 + 360 n, 189.59406822 + 360 n, 350.40593177 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$