Trigonometria Esempi

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x)$

Passaggio 1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $\sin^{4} (x)$ come ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sin^{2} (x))}^{2} - \cos^{4} (x)$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\cos^{4} (x)$ come ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sin^{2} (x))}^{2} - {(\cos^{2} (x))}^{2}$

Passaggio 2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \sin^{2} (x)$ e $b = \cos^{2} (x)$ .

$(\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) (\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x))$

Passaggio 3

Applica l'identità pitagorica.

$1 (\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x))$

Passaggio 4

Moltiplica $\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ per $1$ .

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Passaggio 5

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 6

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 7

Sostituisci i valori effettivi di $a = \sin^{2} (x)$ e $b = - 1 \cos^{2} (x)$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1 \cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Passaggio 8

Trova $| z |$ .

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Passaggio 8.1

Riscrivi $- 1 \cos^{2} (x)$ come $- \cos^{2} (x)$ .

$| z | = \sqrt{{(- \cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Passaggio 8.2

Applica la regola del prodotto a $- \cos^{2} (x)$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Passaggio 8.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{1 {(\cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Passaggio 8.4

Moltiplica ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ per $1$ .

$| z | = \sqrt{{(\cos^{2} (x))}^{2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Passaggio 8.5

Moltiplica gli esponenti in ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ .

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Passaggio 8.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{{\cos (x)}^{2 \cdot 2} + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Passaggio 8.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$| z | = \sqrt{\cos^{4} (x) + {(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Passaggio 8.6

Moltiplica gli esponenti in ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

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Passaggio 8.6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\cos^{4} (x) + {\sin (x)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 8.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$| z | = \sqrt{\cos^{4} (x) + \sin^{4} (x)}$

Passaggio 9

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{- 1 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)})$

Passaggio 10

Sostituisci i valori di $θ = \arctan (\frac{- 1 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)})$ e $| z | = \sqrt{\cos^{4} (x) + \sin^{4} (x)}$ .

$\sqrt{\cos^{4} (x) + \sin^{4} (x)} (\cos (\arctan (\frac{- 1 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)})) + i \sin (\arctan (\frac{- 1 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)})))$