Trigonometria Esempi

$\tan^{2} (θ) + 5 \tan (θ) + 6 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Sia $u = \tan (θ)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $\tan (θ)$ con $u$ .

$u^{2} + 5 u + 6 = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi $u^{2} + 5 u + 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $6$ e la cui somma è $5$ .

$2, 3$

Passaggio 1.2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(u + 2) (u + 3) = 0$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan (θ)$ .

$(\tan (θ) + 2) (\tan (θ) + 3) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\tan (θ) + 2 = 0$

$\tan (θ) + 3 = 0$

Passaggio 3

Imposta $\tan (θ) + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $\tan (θ) + 2$ uguale a $0$ .

$\tan (θ) + 2 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $\tan (θ) + 2 = 0$ per $θ$ .

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Passaggio 3.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\tan (θ) = - 2$

Passaggio 3.2.2

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$θ = \arctan (- 2)$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.3.1

Calcola $\arctan (- 2)$ .

$θ = - 63.43494882$

Passaggio 3.2.4

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$θ = - 63.43494882 - 180$

Passaggio 3.2.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 3.2.5.1

Somma $360 °$ a $- 63.43494882 - 180 °$ .

$θ = - 63.43494882 - 180 ° + 360 °$

Passaggio 3.2.5.2

L'angolo risultante di $116.56505117 °$ è positivo e coterminale con $- 63.43494882 - 180$ .

$θ = 116.56505117 °$

Passaggio 3.2.6

Trova il periodo di $\tan (θ)$ .

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Passaggio 3.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Passaggio 3.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{180}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{180}{1}$

Passaggio 3.2.6.4

Dividi $180$ per $1$ .

$180$

Passaggio 3.2.7

Somma $180$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 3.2.7.1

Somma $180$ a $- 63.43494882$ per trovare l'angolo positivo.

$- 63.43494882 + 180$

Passaggio 3.2.7.2

Sottrai $63.43494882$ da $180$ .

$116.56505117$

Passaggio 3.2.7.3

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$θ = 116.56505117$

Passaggio 3.2.8

Il periodo della funzione $\tan (θ)$ è $180$ , quindi i valori si ripetono ogni $180$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 116.56505117 + 180 n, 116.56505117 + 180 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Imposta $\tan (θ) + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $\tan (θ) + 3$ uguale a $0$ .

$\tan (θ) + 3 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\tan (θ) + 3 = 0$ per $θ$ .

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\tan (θ) = - 3$

Passaggio 4.2.2

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$θ = \arctan (- 3)$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.3.1

Calcola $\arctan (- 3)$ .

$θ = - 71.56505117$

Passaggio 4.2.4

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$θ = - 71.56505117 - 180$

Passaggio 4.2.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 4.2.5.1

Somma $360 °$ a $- 71.56505117 - 180 °$ .

$θ = - 71.56505117 - 180 ° + 360 °$

Passaggio 4.2.5.2

L'angolo risultante di $108.43494882 °$ è positivo e coterminale con $- 71.56505117 - 180$ .

$θ = 108.43494882 °$

Passaggio 4.2.6

Trova il periodo di $\tan (θ)$ .

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Passaggio 4.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Passaggio 4.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{180}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{180}{1}$

Passaggio 4.2.6.4

Dividi $180$ per $1$ .

$180$

Passaggio 4.2.7

Somma $180$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 4.2.7.1

Somma $180$ a $- 71.56505117$ per trovare l'angolo positivo.

$- 71.56505117 + 180$

Passaggio 4.2.7.2

Sottrai $71.56505117$ da $180$ .

$108.43494882$

Passaggio 4.2.7.3

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$θ = 108.43494882$

Passaggio 4.2.8

Il periodo della funzione $\tan (θ)$ è $180$ , quindi i valori si ripetono ogni $180$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 108.43494882 + 180 n, 108.43494882 + 180 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(\tan (θ) + 2) (\tan (θ) + 3) = 0$ vera.

$θ = 116.56505117 + 180 n, 108.43494882 + 180 n$ , per qualsiasi intero $n$