Trigonometria Esempi

$\cot (θ) + \csc (θ) = \frac{\sin (θ) + \tan (θ)}{\sin (θ) \tan (θ)}$

Passaggio 1

Inizia dal lato destro.

$\frac{\sin (θ) + \tan (θ)}{\sin (θ) \tan (θ)}$

Passaggio 2

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 2.1

Scrivi $\tan (θ)$ in seno e coseno usando l'identità quoziente.

$\frac{\sin (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \tan (θ)}$

Passaggio 2.2

Scrivi $\tan (θ)$ in seno e coseno usando l'identità quoziente.

$\frac{\sin (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1.1

Scomponi $\sin (θ)$ da $\sin (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

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Passaggio 3.1.1.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Passaggio 3.1.1.2

Scomponi $\sin (θ)$ da $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) \frac{1}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Passaggio 3.1.1.3

Scomponi $\sin (θ)$ da $\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) \frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) (1 + \frac{1}{\cos (θ)})}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Passaggio 3.1.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{\sin (θ) (\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)})}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Passaggio 3.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Passaggio 3.2

$\sin (θ)$ e $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1

Eleva $\sin (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{1} \sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Passaggio 3.3.2

Eleva $\sin (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{1} {\sin (θ)}^{1}}{\cos (θ)}}$

Passaggio 3.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ)}}$

Passaggio 3.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{2}}{\cos (θ)}}$

Passaggio 3.4

$\sin (θ)$ e $\frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\frac{\sin (θ) (\cos (θ) + 1)}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{2}}{\cos (θ)}}$

Passaggio 3.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\sin (θ) (\cos (θ) + 1)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{{\sin (θ)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Combina.

$\frac{\sin (θ) (\cos (θ) + 1) \cos (θ)}{\cos (θ) {\sin (θ)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Elimina il fattore comune di $\sin (θ)$ e ${\sin (θ)}^{2}$ .

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Passaggio 3.7.1

Scomponi $\sin (θ)$ da $\sin (θ) (\cos (θ) + 1) \cos (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) ((\cos (θ) + 1) \cos (θ))}{\cos (θ) {\sin (θ)}^{2}}$

Passaggio 3.7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.7.2.1

Scomponi $\sin (θ)$ da $\cos (θ) {\sin (θ)}^{2}$ .

$\frac{\sin (θ) ((\cos (θ) + 1) \cos (θ))}{\sin (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

Passaggio 3.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin (θ) ((\cos (θ) + 1) \cos (θ))}{\sin (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

Passaggio 3.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(\cos (θ) + 1) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 3.8

Elimina il fattore comune di $\cos (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) + 1}{\sin (θ)}$

Passaggio 4

Ora considera il lato sinistro dell'equazione.

$\cot (θ) + \csc (θ)$

Passaggio 5

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 5.1

Scrivi $\cot (θ)$ in seno e coseno usando l'identità quoziente.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \csc (θ)$

Passaggio 5.2

Applica l'identità reciproca a $\csc (θ)$ .

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)}$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\cos (θ) + 1}{\sin (θ)}$

Passaggio 7

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\cot (θ) + \csc (θ) = \frac{\sin (θ) + \tan (θ)}{\sin (θ) \tan (θ)}$ è un'identità