Trigonometria Esempi

$\tan^{2} (θ) - 6 \tan (θ) + 5 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Sia $u = \tan (θ)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $\tan (θ)$ con $u$ .

$u^{2} - 6 u + 5 = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi $u^{2} - 6 u + 5$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $5$ e la cui somma è $- 6$ .

$- 5, - 1$

Passaggio 1.2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(u - 5) (u - 1) = 0$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan (θ)$ .

$(\tan (θ) - 5) (\tan (θ) - 1) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\tan (θ) - 5 = 0$

$\tan (θ) - 1 = 0$

Passaggio 3

Imposta $\tan (θ) - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $\tan (θ) - 5$ uguale a $0$ .

$\tan (θ) - 5 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $\tan (θ) - 5 = 0$ per $θ$ .

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Passaggio 3.2.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\tan (θ) = 5$

Passaggio 3.2.2

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$θ = \arctan (5)$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.3.1

Calcola $\arctan (5)$ .

$θ = 78.69006752$

Passaggio 3.2.4

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = 180 + 78.69006752$

Passaggio 3.2.5

Somma $180$ e $78.69006752$ .

$θ = 258.69006752$

Passaggio 3.2.6

Trova il periodo di $\tan (θ)$ .

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Passaggio 3.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Passaggio 3.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{180}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{180}{1}$

Passaggio 3.2.6.4

Dividi $180$ per $1$ .

$180$

Passaggio 3.2.7

Il periodo della funzione $\tan (θ)$ è $180$ , quindi i valori si ripetono ogni $180$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 78.69006752 + 180 n, 258.69006752 + 180 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Imposta $\tan (θ) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $\tan (θ) - 1$ uguale a $0$ .

$\tan (θ) - 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\tan (θ) - 1 = 0$ per $θ$ .

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Passaggio 4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\tan (θ) = 1$

Passaggio 4.2.2

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$θ = \arctan (1)$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.3.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $45$ .

$θ = 45$

Passaggio 4.2.4

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = 180 + 45$

Passaggio 4.2.5

Somma $180$ e $45$ .

$θ = 225$

Passaggio 4.2.6

Trova il periodo di $\tan (θ)$ .

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Passaggio 4.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Passaggio 4.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{180}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{180}{1}$

Passaggio 4.2.6.4

Dividi $180$ per $1$ .

$180$

Passaggio 4.2.7

Il periodo della funzione $\tan (θ)$ è $180$ , quindi i valori si ripetono ogni $180$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 45 + 180 n, 225 + 180 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(\tan (θ) - 5) (\tan (θ) - 1) = 0$ vera.

$θ = 78.69006752 + 180 n, 258.69006752 + 180 n, 45 + 180 n, 225 + 180 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Consolida le risposte.

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Passaggio 6.1

Combina $78.69006752 + 180 n$ e $258.69006752 + 180 n$ in $78.69006752 + 180 n$ .

$θ = 78.69006752 + 180 n, 45 + 180 n, 225 + 180 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6.2

Combina $45 + 180 n$ e $225 + 180 n$ in $45 + 180 n$ .

$θ = 78.69006752 + 180 n, 45 + 180 n$ , per qualsiasi intero $n$