Trigonometria Esempi

$\cos^{2} (x) (\tan (x) - \sec (x)) (\tan (x) + \sec (x)) = \sin^{2} (x) - 1$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\cos^{2} (x) (\tan (x) - \sec (x)) (\tan (x) + \sec (x))$

Passaggio 2

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 2.1

Scrivi $\tan (x)$ in seno e coseno usando l'identità quoziente.

$\cos^{2} (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sec (x)) (\tan (x) + \sec (x))$

Passaggio 2.2

Applica l'identità reciproca a $\sec (x)$ .

$\cos^{2} (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)}) (\tan (x) + \sec (x))$

Passaggio 2.3

Scrivi $\tan (x)$ in seno e coseno usando l'identità quoziente.

$\cos^{2} (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x))$

Passaggio 2.4

Applica l'identità reciproca a $\sec (x)$ .

$\cos^{2} (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$({\cos (x)}^{2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{2} (- \frac{1}{\cos (x)})) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

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Passaggio 3.2.1

Scomponi $\cos (x)$ da ${\cos (x)}^{2}$ .

$(\cos (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{2} (- \frac{1}{\cos (x)})) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune.

$(\cos (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{2} (- \frac{1}{\cos (x)})) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$(\cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{2} (- \frac{1}{\cos (x)})) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

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Passaggio 3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{\cos (x)}$ nel numeratore.

$(\cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{2} \frac{- 1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $\cos (x)$ da ${\cos (x)}^{2}$ .

$(\cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) \frac{- 1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune.

$(\cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) \frac{- 1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi l'espressione.

$(\cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cdot - 1) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Passaggio 3.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\cos (x)$ .

$(\cos (x) \sin (x) - 1 \cdot \cos (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Passaggio 3.4.2

Riscrivi $- 1 \cos (x)$ come $- \cos (x)$ .

$(\cos (x) \sin (x) - \cos (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Passaggio 3.5

Espandi $(\cos (x) \sin (x) - \cos (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (x) \sin (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}) - \cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Passaggio 3.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Passaggio 3.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 3.6

Semplifica e combina i termini simili.

$\sin^{2} (x) - 1$

Passaggio 4

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\cos^{2} (x) (\tan (x) - \sec (x)) (\tan (x) + \sec (x)) = \sin^{2} (x) - 1$ è un'identità