Trigonometria Esempi

$\frac{1}{1 + \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)} = - 2 \cot^{2} (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\frac{1}{1 + \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)}$

Passaggio 2

Somma le frazioni.

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Passaggio 2.1

Per scrivere $\frac{1}{1 + \sec (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \sec (x)} \cdot \frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)}$

Passaggio 2.2

Per scrivere $\frac{1}{1 - \sec (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \sec (x)} \cdot \frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)} \cdot \frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$

Passaggio 2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{1 + \sec (x)}$ per $\frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)}$ .

$\frac{1 - \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))} + \frac{1}{1 - \sec (x)} \cdot \frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{1}{1 - \sec (x)}$ per $\frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$ .

$\frac{1 - \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))} + \frac{1 + \sec (x)}{(1 - \sec (x)) (1 + \sec (x))}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i fattori di $(1 - \sec (x)) (1 + \sec (x))$ .

$\frac{1 - \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))} + \frac{1 + \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - \sec (x) + 1 + \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Passaggio 3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 - \sec (x) + \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Passaggio 3.2

Somma $- \sec (x)$ e $\sec (x)$ .

$\frac{2 + 0}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Passaggio 3.3

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{2}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Passaggio 4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.1

Espandi $(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2}{1 (1 - \sec (x)) + \sec (x) (1 - \sec (x))}$

Passaggio 4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (x)) + \sec (x) (1 - \sec (x))}$

Passaggio 4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))}$

Passaggio 4.2

Semplifica e combina i termini simili.

$\frac{2}{1 - \sec^{2} (x)}$

Passaggio 5

Applica l'identità pitagorica.

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Passaggio 5.1

Riordina $1$ e $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{2}{- \sec^{2} (x) + 1}$

Passaggio 5.2

Scomponi $- 1$ da $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{2}{- (\sec^{2} (x)) + 1}$

Passaggio 5.3

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2}{- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

Passaggio 5.4

Scomponi $- 1$ da $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{2}{- (\sec^{2} (x) - 1)}$

Passaggio 5.5

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{2}{- \tan^{2} (x)}$

Passaggio 6

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 6.1

Scrivi $\tan (x)$ in seno e coseno usando l'identità quoziente.

$\frac{2}{- {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Passaggio 6.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2 (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$ .

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

$- 2$ e $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 7.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 8

Scrivi $- 1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 9

Combina.

$\frac{- (2 \cos^{2} (x))}{1 \sin^{2} (x)}$

Passaggio 10

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{1 \sin^{2} (x)}$

Passaggio 11

Moltiplica ${\sin (x)}^{2}$ per $1$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 13

Ora considera il lato destro dell'equazione.

$- 2 \cot^{2} (x)$

Passaggio 14

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 14.1

Scrivi $\cot (x)$ in seno e coseno usando l'identità quoziente.

$- 2 {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Passaggio 14.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- 2 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 15

Semplifica.

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Passaggio 15.1

$- 2$ e $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 15.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 16

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{1}{1 + \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)} = - 2 \cot^{2} (x)$ è un'identità