Trigonometria Esempi

$\csc^{2} (θ) + \csc (θ) - 2 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Sia $u = \csc (θ)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $\csc (θ)$ con $u$ .

$u^{2} + u - 2 = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi $u^{2} + u - 2$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 2$ e la cui somma è $1$ .

$- 1, 2$

Passaggio 1.2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\csc (θ)$ .

$(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 2) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\csc (θ) - 1 = 0$

$\csc (θ) + 2 = 0$

Passaggio 3

Imposta $\csc (θ) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $\csc (θ) - 1$ uguale a $0$ .

$\csc (θ) - 1 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $\csc (θ) - 1 = 0$ per $θ$ .

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Passaggio 3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\csc (θ) = 1$

Passaggio 3.2.2

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $θ$ dalla cosecante.

$θ = arccsc (1)$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.3.1

Il valore esatto di $arccsc (1)$ è $90$ .

$θ = 90$

Passaggio 3.2.4

La funzione della cosecante è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$θ = 180 - 90$

Passaggio 3.2.5

Sottrai $90$ da $180$ .

$θ = 90$

Passaggio 3.2.6

Trova il periodo di $\csc (θ)$ .

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Passaggio 3.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 3.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{360}{1}$

Passaggio 3.2.6.4

Dividi $360$ per $1$ .

$360$

Passaggio 3.2.7

Il periodo della funzione $\csc (θ)$ è $360$ , quindi i valori si ripetono ogni $360$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 90 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Imposta $\csc (θ) + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $\csc (θ) + 2$ uguale a $0$ .

$\csc (θ) + 2 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\csc (θ) + 2 = 0$ per $θ$ .

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\csc (θ) = - 2$

Passaggio 4.2.2

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $θ$ dalla cosecante.

$θ = arccsc (- 2)$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.3.1

Il valore esatto di $arccsc (- 2)$ è $- 30$ .

$θ = - 30$

Passaggio 4.2.4

La funzione della cosecante è negativa nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $360$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $180$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$θ = 360 + 30 + 180$

Passaggio 4.2.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 4.2.5.1

Sottrai $360 °$ da $360 + 30 + 180 °$ .

$θ = 360 + 30 + 180 ° - 360 °$

Passaggio 4.2.5.2

L'angolo risultante di $210 °$ è positivo, minore di $360 °$ e coterminale con $360 + 30 + 180$ .

$θ = 210 °$

Passaggio 4.2.6

Trova il periodo di $\csc (θ)$ .

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Passaggio 4.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 4.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{360}{1}$

Passaggio 4.2.6.4

Dividi $360$ per $1$ .

$360$

Passaggio 4.2.7

Somma $360$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 4.2.7.1

Somma $360$ a $- 30$ per trovare l'angolo positivo.

$- 30 + 360$

Passaggio 4.2.7.2

Sottrai $30$ da $360$ .

$330$

Passaggio 4.2.7.3

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$θ = 330$

Passaggio 4.2.8

Il periodo della funzione $\csc (θ)$ è $360$ , quindi i valori si ripetono ogni $360$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 2) = 0$ vera.

$θ = 90 + 360 n, 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Consolida le risposte.

$θ = 90 + 120 n$ , per qualsiasi intero $n$