Trigonometria Esempi

$(3 \frac{1}{2}, - 2 \sqrt{15})$

Passaggio 1

Per trovare l'elemento $\csc (θ)$ tra l'asse x e la retta che passa per i punti $(0, 0)$ e $(3 \frac{1}{2}, - 2 \sqrt{15})$ , disegna il triangolo che passa per i tre punti $(0, 0)$ , $(3 \frac{1}{2}, 0)$ e $(3 \frac{1}{2}, - 2 \sqrt{15})$ .

Opposto: $- 2 \sqrt{15}$

Adiacente: $3 \frac{1}{2}$

Passaggio 2

Trova l'ipotenusa usando il teorema di Pitagora $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Passaggio 2.1

Converti $3 \frac{1}{2}$ in una frazione impropria.

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Passaggio 2.1.1

Un numero misto è una somma della parti intera e della parte frazionaria.

$\sqrt{{(3 + \frac{1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Somma $3$ e $\frac{1}{2}$ .

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Passaggio 2.1.2.1

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{{(3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.2

$3$ e $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{{(\frac{3 \cdot 2 + 1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.1.2.4.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\sqrt{{(\frac{6 + 1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.4.2

Somma $6$ e $1$ .

$\sqrt{{(\frac{7}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{2}$ .

$\sqrt{\frac{7^{2}}{2^{2}} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{49}{2^{2}} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{49}{4} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Passaggio 2.2.4

Applica la regola del prodotto a $- 2 \sqrt{15}$ .

$\sqrt{\frac{49}{4} + {(- 2)}^{2} {\sqrt{15}}^{2}}$

Passaggio 2.2.5

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{49}{4} + 4 {\sqrt{15}}^{2}}$

Passaggio 2.3

Riscrivi ${\sqrt{15}}^{2}$ come $15$ .

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Passaggio 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{15}$ come $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{49}{4} + 4 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{49}{4} + 4 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{49}{4} + 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{49}{4} + 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{49}{4} + 4 \cdot 15^{1}}$

Passaggio 2.3.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{\frac{49}{4} + 4 \cdot 15}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $4$ per $15$ .

$\sqrt{\frac{49}{4} + 60}$

Passaggio 2.5

Per scrivere $60$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{49}{4} + 60 \cdot \frac{4}{4}}$

Passaggio 2.6

$60$ e $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{49}{4} + \frac{60 \cdot 4}{4}}$

Passaggio 2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{49 + 60 \cdot 4}{4}}$

Passaggio 2.8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.8.1

Moltiplica $60$ per $4$ .

$\sqrt{\frac{49 + 240}{4}}$

Passaggio 2.8.2

Somma $49$ e $240$ .

$\sqrt{\frac{289}{4}}$

Passaggio 2.9

Riscrivi $\sqrt{\frac{289}{4}}$ come $\frac{\sqrt{289}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{289}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 2.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.10.1

Riscrivi $289$ come $17^{2}$ .

$\frac{\sqrt{17^{2}}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 2.10.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{17}{\sqrt{4}}$

Passaggio 2.11

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.11.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{17}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 2.11.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{17}{2}$

Passaggio 3

$\csc (θ) = \frac{Ipotenusa}{Opposto}$ quindi $\csc (θ) = \frac{\frac{17}{2}}{- 2 \sqrt{15}}$ .

$\frac{\frac{17}{2}}{- 2 \sqrt{15}}$

Passaggio 4

Semplifica $\csc (θ)$ .

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Passaggio 4.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\csc (θ) = \frac{17}{2} \cdot \frac{1}{- 2 \sqrt{15}}$

Passaggio 4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\csc (θ) = \frac{17}{2} \cdot (- \frac{1}{2 \sqrt{15}})$

Passaggio 4.3

Moltiplica $\frac{1}{2 \sqrt{15}}$ per $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\csc (θ) = \frac{17}{2} \cdot (- (\frac{1}{2 \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}))$

Passaggio 4.4

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2 \sqrt{15}}$ per $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\csc (θ) = \frac{17}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 \sqrt{15} \sqrt{15}})$

Passaggio 4.4.2

Sposta $\sqrt{15}$ .

$\csc (θ) = \frac{17}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 (\sqrt{15} \sqrt{15})})$

Passaggio 4.4.3

Eleva $\sqrt{15}$ alla potenza di $1$ .

$\csc (θ) = \frac{17}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 (\sqrt{15} \sqrt{15})})$

Passaggio 4.4.4

Eleva $\sqrt{15}$ alla potenza di $1$ .

$\csc (θ) = \frac{17}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 (\sqrt{15} \sqrt{15})})$

Passaggio 4.4.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\csc (θ) = \frac{17}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{1 + 1}})$

Passaggio 4.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$\csc (θ) = \frac{17}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{2}})$

Passaggio 4.4.7

Riscrivi ${\sqrt{15}}^{2}$ come $15$ .

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Passaggio 4.4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{15}$ come $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = \frac{17}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 4.4.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = \frac{17}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 4.4.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\csc (θ) = \frac{17}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 4.4.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.4.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\csc (θ) = \frac{17}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 4.4.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\csc (θ) = \frac{17}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 \cdot 15})$

Passaggio 4.4.7.5

Calcola l'esponente.

$\csc (θ) = \frac{17}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{2 \cdot 15})$

Passaggio 4.5

Moltiplica $2$ per $15$ .

$\csc (θ) = \frac{17}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{15}}{30})$

Passaggio 4.6

Moltiplica $\frac{17}{2} (- \frac{\sqrt{15}}{30})$ .

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $\frac{17}{2}$ per $\frac{\sqrt{15}}{30}$ .

$\csc (θ) = - \frac{17 \sqrt{15}}{2 \cdot 30}$

Passaggio 4.6.2

Moltiplica $2$ per $30$ .

$\csc (θ) = - \frac{17 \sqrt{15}}{60}$

Passaggio 5

Approssima il risultato.

$\csc (θ) = - \frac{17 \sqrt{15}}{60} \approx - 1.09734528$