Trigonometria Esempi

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato destro.

$\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Passaggio 2

Applica l'identità pitagorica al contrario.

$1 - \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Passaggio 3

Scomponi.

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Passaggio 3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$1^{2} - \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Passaggio 3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \sin (x)$ .

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \tan^{2} (x)$

Passaggio 4

Applica l'identità pitagorica al contrario.

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \sec^{2} (x) - 1$

Passaggio 5

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 5.1

Applica l'identità reciproca a $\sec (x)$ .

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1$

Passaggio 5.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1.1

Espandi $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 6.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 6.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 6.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 6.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 6.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 6.1.2.1.2

Moltiplica $- \sin (x)$ per $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 6.1.2.1.3

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 6.1.2.1.4

Moltiplica $\sin (x) (- \sin (x))$ .

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Passaggio 6.1.2.1.4.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 6.1.2.1.4.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 6.1.2.1.4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 6.1.2.1.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 6.1.2.2

Somma $- \sin (x)$ e $\sin (x)$ .

$1 + 0 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 6.1.2.3

Somma $1$ e $0$ .

$1 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 6.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 6.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$- {\sin (x)}^{2} + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + 0$

Passaggio 6.3

Somma $- {\sin (x)}^{2}$ e $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 7

Scrivi $- \sin^{2} (x)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x)}{1} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 8

Somma le frazioni.

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Passaggio 8.1

Per scrivere $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{- \sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 8.2

Moltiplica $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ per $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 8.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 9

Semplifica il numeratore.

$\frac{(1 + \cos (x) \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 10

Ora considera il lato sinistro dell'equazione.

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Passaggio 11

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 11.1

Applica l'identità reciproca a $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - \sin^{2} (x)$

Passaggio 11.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x)$

Passaggio 12

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x)$

Passaggio 13

Scrivi $- \sin^{2} (x)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x)}{1}$

Passaggio 14

Somma le frazioni.

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Passaggio 14.1

Per scrivere $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 14.2

Moltiplica $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ per $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 14.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 15

Semplifica il numeratore.

$\frac{(1 + \cos (x) \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 16

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ è un'identità