Trigonometria Esempi

sec (θ) = - \sqrt{10}

$\sec (θ) = - \sqrt{10}$ ,

cot (θ) > 0

$\cot (θ) > 0$

Passaggio 1

The cotangent function is positive in the first and third quadrants. The secant function is negative in the second and third quadrants. The set of solutions for

θ

$θ$ are limited to the third quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

La soluzione si trova nel terzo quadrante.

Passaggio 2

Usa la definizione di secante per trovare i lati noti del triangolo rettangolo nella circonferenza unitaria. Il quadrante determina il segno di ognuno dei valori.

sec (θ) = \frac{ipotenusa}{adiacente}

$\sec (θ) = \frac{ipotenusa}{adiacente}$

Passaggio 3

Trova il lato opposto del triangolo sulla circonferenza unitaria. Dato che il lato adiacente e l'ipotenusa sono noti, usa il teorema di Pitagora per trovare il lato rimanente.

Opposto = - \sqrt{{ipotenusa}^{2} - {adiacente}^{2}}

$Opposto = - \sqrt{{ipotenusa}^{2} - {adiacente}^{2}}$

Passaggio 4

Sostituisci i valori noti all'interno dell'equazione.

Opposto = - \sqrt{{(\sqrt{10})}^{2} - {(- 1)}^{2}}

$Opposto = - \sqrt{{(\sqrt{10})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica l'interno del radicale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Nega

\sqrt{{(\sqrt{10})}^{2} - {(- 1)}^{2}}

$\sqrt{{(\sqrt{10})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$ .

Opposto

= - \sqrt{{(\sqrt{10})}^{2} - {(- 1)}^{2}}

$= - \sqrt{{(\sqrt{10})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Riscrivi

{\sqrt{10}}^{2}

${\sqrt{10}}^{2}$ come

10

$10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

\sqrt{10}

$\sqrt{10}$ come

10^{\frac{1}{2}}

$10^{\frac{1}{2}}$ .

Opposto

= - \sqrt{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(- 1)}^{2}}

$= - \sqrt{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Opposto

= - \sqrt{10^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(- 1)}^{2}}

$= - \sqrt{10^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

2

$2$ .

Opposto

= - \sqrt{10^{\frac{2}{2}} - {(- 1)}^{2}}

$= - \sqrt{10^{\frac{2}{2}} - {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.4

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

Opposto

$= - \sqrt{10^{\frac{2}{2}} - {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

Opposto

$= - \sqrt{10 - {(- 1)}^{2}}$

Opposto

$= - \sqrt{10 - {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.5

Calcola l'esponente.

Opposto

$= - \sqrt{10 - {(- 1)}^{2}}$

Opposto

$= - \sqrt{10 - {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Moltiplica

$- 1$ per

${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica

$- 1$ per

${(- 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Eleva

$- 1$ alla potenza di

$1$ .

Opposto

$= - \sqrt{10 + (- 1) {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Usa la regola della potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

Opposto

$= - \sqrt{10 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Opposto

$= - \sqrt{10 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Passaggio 5.3.2

Somma

$1$ e

$2$ .

Opposto

$= - \sqrt{10 + {(- 1)}^{3}}$

Opposto

$= - \sqrt{10 + {(- 1)}^{3}}$

Passaggio 5.4

Eleva

$- 1$ alla potenza di

$3$ .

Opposto

$= - \sqrt{10 - 1}$

Passaggio 5.5

Sottrai

$1$ da

$10$ .

Opposto

$= - \sqrt{9}$

Passaggio 5.6

Riscrivi

$9$ come

$3^{2}$ .

Opposto

$= - \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 5.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

Opposto

$= - 1 \cdot 3$

Passaggio 5.8

Moltiplica

$- 1$ per

$3$ .

Opposto

$= - 3$

Opposto

$= - 3$

Passaggio 6

Trova il valore del seno.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Usa la definizione di seno per trovare il valore di

$\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti.

$\sin (θ) = \frac{- 3}{\sqrt{10}}$

Passaggio 6.3

Semplifica il valore di

$\sin (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sin (θ) = - \frac{3}{\sqrt{10}}$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica

$\frac{3}{\sqrt{10}}$ per

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sin (θ) = - (\frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})$

Passaggio 6.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Moltiplica

$\frac{3}{\sqrt{10}}$ per

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Passaggio 6.3.3.2

Eleva

$\sqrt{10}$ alla potenza di

$1$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Passaggio 6.3.3.3

Eleva

$\sqrt{10}$ alla potenza di

$1$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Passaggio 6.3.3.4

Usa la regola della potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Passaggio 6.3.3.5

Somma

$1$ e

$1$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Passaggio 6.3.3.6

Riscrivi

${\sqrt{10}}^{2}$ come

$10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.6.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{10}$ come

$10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 6.3.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 6.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

Passaggio 6.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

Passaggio 7

Trova il valore del coseno.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Usa la definizione di coseno per trovare il valore di

$\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti.

$\cos (θ) = \frac{- 1}{\sqrt{10}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il valore di

$\cos (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\cos (θ) = - \frac{1}{\sqrt{10}}$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica

$\frac{1}{\sqrt{10}}$ per

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\cos (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})$

Passaggio 7.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Moltiplica

$\frac{1}{\sqrt{10}}$ per

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Passaggio 7.3.3.2

Eleva

$\sqrt{10}$ alla potenza di

$1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Passaggio 7.3.3.3

Eleva

$\sqrt{10}$ alla potenza di

$1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Passaggio 7.3.3.4

Usa la regola della potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Passaggio 7.3.3.5

Somma

$1$ e

$1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Passaggio 7.3.3.6

Riscrivi

${\sqrt{10}}^{2}$ come

$10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.6.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{10}$ come

$10^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 7.3.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 7.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$

Passaggio 7.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$

Passaggio 8

Trova il valore della tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Usa la definizione di tangente per trovare il valore di

$\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori noti.

$\tan (θ) = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 8.3

Dividi

$- 3$ per

$- 1$ .

$\tan (θ) = 3$

Passaggio 9

Trova il valore della cotangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Usa la definizione di cotangente per trovare il valore di

$\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori noti.

$\cot (θ) = \frac{- 1}{- 3}$

Passaggio 9.3

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\cot (θ) = \frac{1}{3}$

Passaggio 10

Trova il valore della cosecante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Usa la definizione di cosecante per trovare il valore di

$\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Passaggio 10.2

Sostituisci i valori noti.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{10}}{- 3}$

Passaggio 10.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{3}$

Passaggio 11

Questa è la soluzione per ogni valore trigonometrico.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$

$\tan (θ) = 3$

$\cot (θ) = \frac{1}{3}$

$\sec (θ) = - \sqrt{10}$

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{3}$