Trigonometria Esempi

$2 \sin (t) \cos (t) + 1 = {(\frac{\sec (t) + \csc (t)}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$

Passaggio 1

Inizia dal lato destro.

${(\frac{\sec (t) + \csc (t)}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$

Passaggio 2

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 2.1

Applica l'identità reciproca a $\sec (t)$ .

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \csc (t)}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$

Passaggio 2.2

Applica l'identità reciproca a $\csc (t)$ .

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$

Passaggio 2.3

Applica l'identità reciproca a $\sec (t)$ .

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \csc (t)})}^{2}$

Passaggio 2.4

Applica l'identità reciproca a $\csc (t)$ .

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.5.1.1

Per scrivere $\frac{1}{\cos (t)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Passaggio 2.5.1.2

Per scrivere $\frac{1}{\sin (t)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)} + \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Passaggio 2.5.1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $\cos (t) \sin (t)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.5.1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\cos (t)}$ per $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

${(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Passaggio 2.5.1.3.2

Moltiplica $\frac{1}{\sin (t)}$ per $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

${(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{\cos (t)}{\sin (t) \cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

${(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{\cos (t)}{\cos (t) \sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Passaggio 2.5.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(\frac{\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $\frac{1}{\cos (t)}$ per $\frac{1}{\sin (t)}$ .

${(\frac{\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t) \sin (t)}})}^{2}$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

${(\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)} (\cos (t) \sin (t)))}^{2}$

Passaggio 2.5.4

Elimina il fattore comune di $\cos (t) \sin (t)$ .

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Passaggio 2.5.4.1

Elimina il fattore comune.

${(\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)} (\cos (t) \sin (t)))}^{2}$

Passaggio 2.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

${(\sin (t) + \cos (t))}^{2}$

Passaggio 2.5.5

Riscrivi ${(\sin (t) + \cos (t))}^{2}$ come $(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$ .

$(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$

Passaggio 2.5.6

Espandi $(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.5.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (t) (\sin (t) + \cos (t)) + \cos (t) (\sin (t) + \cos (t))$

Passaggio 2.5.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (t) \sin (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) (\sin (t) + \cos (t))$

Passaggio 2.5.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (t) \sin (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \cos (t)$

Passaggio 2.5.7

Semplifica e combina i termini simili.

$\sin^{2} (t) + 2 \cos (t) \sin (t) + \cos^{2} (t)$

Passaggio 3

Applica l'identità pitagorica.

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Passaggio 3.1

Sposta $\cos^{2} (t)$ .

$\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t) + 2 \cos (t) \sin (t)$

Passaggio 3.2

Applica l'identità pitagorica.

$1 + 2 \cos (t) \sin (t)$

Passaggio 4

Riscrivi $1 + 2 \cos (t) \sin (t)$ come $2 \sin (t) \cos (t) + 1$ .

$2 \sin (t) \cos (t) + 1$

Passaggio 5

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$2 \sin (t) \cos (t) + 1 = {(\frac{\sec (t) + \csc (t)}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$ è un'identità