Trigonometria Esempi

$\csc^{2} (θ) \cdot \tan^{2} (θ) - 1 = \tan^{2} (θ)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\csc^{2} (θ) \cdot \tan^{2} (θ) - 1$

Passaggio 2

Applica l'identità pitagorica al contrario.

$(1 + \cot^{2} (θ)) \cdot \tan^{2} (θ) - 1$

Passaggio 3

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 3.1

Scrivi $\cot (θ)$ in seno e coseno usando l'identità quoziente.

$(1 + {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}) \cdot \tan^{2} (θ) - 1$

Passaggio 3.2

Scrivi $\tan (θ)$ in seno e coseno usando l'identità quoziente.

$(1 + {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}) \cdot {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2} - 1$

Passaggio 3.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$(1 + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}) \cdot {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2} - 1$

Passaggio 3.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$(1 + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}) \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - 1$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} - 1$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$ per $1$ .

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} - 1$

Passaggio 4.1.3

Combina.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2} {\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2} {\cos (θ)}^{2}} - 1$

Passaggio 4.1.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.4.1

Elimina il fattore comune di ${\cos (θ)}^{2}$ .

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Passaggio 4.1.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2} {\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2} {\cos (θ)}^{2}} - 1$

Passaggio 4.1.4.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} - 1$

Passaggio 4.1.4.2

Elimina il fattore comune di ${\sin (θ)}^{2}$ .

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Passaggio 4.1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} - 1$

Passaggio 4.1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + 1 - 1$

Passaggio 4.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + 0$

Passaggio 4.3

Somma $\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$ e $0$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Passaggio 5

Riscrivi $\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ come $\tan^{2} (θ)$ .

$\tan^{2} (θ)$

Passaggio 6

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\csc^{2} (θ) \cdot \tan^{2} (θ) - 1 = \tan^{2} (θ)$ è un'identità