Trigonometria Esempi

$\sin (θ) + \cos (θ) \cdot \cot (θ) = 2$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.1

Riscrivi $\cot (θ)$ in termini di seno e coseno.

$\sin (θ) + \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = 2$

Passaggio 1.1.2

Moltiplica $\cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Eleva $\cos (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = 2$

Passaggio 1.1.2.2

Eleva $\cos (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ)} = 2$

Passaggio 1.1.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin (θ) + \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ)} = 2$

Passaggio 1.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = 2$

Passaggio 2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) (\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \cdot 2$

Passaggio 3

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Passaggio 4

Moltiplica $\sin (θ) \sin (θ)$ .

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Passaggio 4.1

Eleva $\sin (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\sin^{1} (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Passaggio 4.2

Eleva $\sin (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Passaggio 4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\sin (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Passaggio 4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Passaggio 5

Elimina il fattore comune di $\sin (θ)$ .

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Passaggio 5.1

Elimina il fattore comune.

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Passaggio 5.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) = \sin (θ) \cdot 2$

Passaggio 6

Applica l'identità pitagorica.

$1 = \sin (θ) \cdot 2$

Passaggio 7

Sposta $2$ alla sinistra di $\sin (θ)$ .

$1 = 2 \sin (θ)$

Passaggio 8

Riscrivi l'equazione come $2 \sin (θ) = 1$ .

$2 \sin (θ) = 1$

Passaggio 9

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \sin (θ) = 1$ e semplifica.

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Passaggio 9.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \sin (θ) = 1$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 9.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 9.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 9.2.1.2

Dividi $\sin (θ)$ per $1$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

Passaggio 10

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 11

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 11.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Passaggio 12

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$θ = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 13

Semplifica $π - \frac{π}{6}$ .

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Passaggio 13.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 13.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 13.2.1

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 13.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 13.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 13.3.1

Sposta $6$ alla sinistra di $π$ .

$θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 13.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 14

Trova il periodo di $\sin (θ)$ .

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Passaggio 14.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 14.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 14.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 14.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 15

Il periodo della funzione $\sin (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$