Trigonometria Esempi

$- 2 \sin^{2} (θ) + \cos (θ) + 1 = 0$

Passaggio 1

Sostituisci $- 2 \sin^{2} (θ)$ con $- 2 (1 - \cos^{2} (θ))$ in base all'identità $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$- 2 (1 - \cos^{2} (θ)) + \cos (θ) + 1 = 0$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 \cdot 1 - 2 (- \cos^{2} (θ)) + \cos (θ) + 1 = 0$

Passaggio 2.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 - 2 (- \cos^{2} (θ)) + \cos (θ) + 1 = 0$

Passaggio 2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$- 2 + 2 \cos^{2} (θ) + \cos (θ) + 1 = 0$

Passaggio 3

Somma $- 2$ e $1$ .

$2 \cos^{2} (θ) + \cos (θ) - 1 = 0$

Passaggio 4

Sostituisci $u$ a $\cos (θ)$ .

$2 {(u)}^{2} + u - 1 = 0$

Passaggio 5

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 5.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e la cui somma è $b = 1$ .

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Passaggio 5.1.1

Moltiplica per $1$ .

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

Passaggio 5.1.2

Riscrivi $1$ come $- 1$ più $2$ .

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

Passaggio 5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Passaggio 5.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Passaggio 5.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

Passaggio 5.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

Passaggio 6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Passaggio 7

Imposta $2 u - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 7.1

Imposta $2 u - 1$ uguale a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi $2 u - 1 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 u = 1$

Passaggio 7.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = 1$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 7.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 7.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Passaggio 8

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

Passaggio 8.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 1$

Passaggio 9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ vera.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Passaggio 10

Sostituisci $\cos (θ)$ a $u$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}, - 1$

Passaggio 11

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $θ$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

$\cos (θ) = - 1$

Passaggio 12

Risolvi per $θ$ in $\cos (θ) = \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 12.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Passaggio 12.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 12.2.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Passaggio 12.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

Passaggio 12.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Passaggio 12.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 12.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 12.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 12.4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.4.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 12.4.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 12.5

Trova il periodo di $\cos (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 12.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 12.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 12.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 12.6

Il periodo della funzione $\cos (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 13

Risolvi per $θ$ in $\cos (θ) = - 1$ .

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Passaggio 13.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arccos (- 1)$

Passaggio 13.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Il valore esatto di $\arccos (- 1)$ è $π$ .

$θ = π$

Passaggio 13.3

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$θ = 2 π - π$

Passaggio 13.4

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$θ = π$

Passaggio 13.5

Trova il periodo di $\cos (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 13.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 13.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 13.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 13.6

Il periodo della funzione $\cos (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 14

Elenca tutte le soluzioni.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 15

Consolida le risposte.

$θ = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$