Trigonometria Esempi

$\sin^{2} (θ) + 3 \sin (θ) - 4 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Sia $u = \sin (θ)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $\sin (θ)$ con $u$ .

$u^{2} + 3 u - 4 = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi $u^{2} + 3 u - 4$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 4$ e la cui somma è $3$ .

$- 1, 4$

Passaggio 1.2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(u - 1) (u + 4) = 0$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (θ)$ .

$(\sin (θ) - 1) (\sin (θ) + 4) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sin (θ) - 1 = 0$

$\sin (θ) + 4 = 0$

Passaggio 3

Imposta $\sin (θ) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $\sin (θ) - 1$ uguale a $0$ .

$\sin (θ) - 1 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $\sin (θ) - 1 = 0$ per $θ$ .

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Passaggio 3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\sin (θ) = 1$

Passaggio 3.2.2

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arcsin (1)$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.3.1

Il valore esatto di $\arcsin (1)$ è $90$ .

$θ = 90$

Passaggio 3.2.4

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$θ = 180 - 90$

Passaggio 3.2.5

Sottrai $90$ da $180$ .

$θ = 90$

Passaggio 3.2.6

Trova il periodo di $\sin (θ)$ .

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Passaggio 3.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 3.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{360}{1}$

Passaggio 3.2.6.4

Dividi $360$ per $1$ .

$360$

Passaggio 3.2.7

Il periodo della funzione $\sin (θ)$ è $360$ , quindi i valori si ripetono ogni $360$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 90 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Imposta $\sin (θ) + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $\sin (θ) + 4$ uguale a $0$ .

$\sin (θ) + 4 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\sin (θ) + 4 = 0$ per $θ$ .

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin (θ) = - 4$

Passaggio 4.2.2

L'intervallo del seno è $- 1 \leq y \leq 1$ . Poiché $- 4$ non rientra nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(\sin (θ) - 1) (\sin (θ) + 4) = 0$ vera.

$θ = 90 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$