Trigonometria Esempi

$\cos (θ) = \frac{1}{3}$ , $\sin (θ) < 0$

Passaggio 1

The sine function is negative in the third and fourth quadrants. The cosine function is positive in the first and fourth quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the fourth quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

La soluzione si trova nel quarto quadrante.

Passaggio 2

Usa la definizione di coseno per trovare i lati noti del triangolo rettangolo nella circonferenza unitaria. Il quadrante determina il segno di ognuno dei valori.

$\cos (θ) = \frac{adiacente}{ipotenusa}$

Passaggio 3

Trova il lato opposto del triangolo sulla circonferenza unitaria. Dato che il lato adiacente e l'ipotenusa sono noti, usa il teorema di Pitagora per trovare il lato rimanente.

$Opposto = - \sqrt{{ipotenusa}^{2} - {adiacente}^{2}}$

Passaggio 4

Sostituisci i valori noti all'interno dell'equazione.

$Opposto = - \sqrt{{(3)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica l'interno del radicale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Nega $\sqrt{{(3)}^{2} - {(1)}^{2}}$ .

Opposto $= - \sqrt{{(3)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

Opposto $= - \sqrt{9 - {(1)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

Opposto $= - \sqrt{9 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 5.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

Opposto $= - \sqrt{9 - 1}$

Passaggio 5.5

Sottrai $1$ da $9$ .

Opposto $= - \sqrt{8}$

Passaggio 5.6

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Scomponi $4$ da $8$ .

Opposto $= - \sqrt{4 (2)}$

Passaggio 5.6.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

Opposto $= - \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Passaggio 5.7

Estrai i termini dal radicale.

Opposto $= - (2 \sqrt{2})$

Passaggio 5.8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

Opposto $= - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 6

Trova il valore del seno.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Usa la definizione di seno per trovare il valore di $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti.

$\sin (θ) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 6.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 7

Trova il valore della tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Usa la definizione di tangente per trovare il valore di $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti.

$\tan (θ) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{1}$

Passaggio 7.3

Dividi $- 2 \sqrt{2}$ per $1$ .

$\tan (θ) = - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 8

Trova il valore della cotangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Usa la definizione di cotangente per trovare il valore di $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori noti.

$\cot (θ) = \frac{1}{- 2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il valore di $\cot (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\cot (θ) = - \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cot (θ) = - (\frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Passaggio 8.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.3.2

Sposta $\sqrt{2}$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Passaggio 8.3.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Passaggio 8.3.3.4

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Passaggio 8.3.3.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 8.3.3.6

Somma $1$ e $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 8.3.3.7

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 8.3.3.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 8.3.3.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.3.3.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.3.3.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.3.7.5

Calcola l'esponente.

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Passaggio 9

Trova il valore della secante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Usa la definizione di secante per trovare il valore di $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori noti.

$\sec (θ) = \frac{3}{1}$

Passaggio 9.3

Dividi $3$ per $1$ .

$\sec (θ) = 3$

Passaggio 10

Trova il valore della cosecante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Usa la definizione di cosecante per trovare il valore di $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Passaggio 10.2

Sostituisci i valori noti.

$\csc (θ) = \frac{3}{- 2 \sqrt{2}}$

Passaggio 10.3

Semplifica il valore di $\csc (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\csc (θ) = - \frac{3}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 10.3.2

Moltiplica $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Passaggio 10.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.3.1

Moltiplica $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 10.3.3.2

Sposta $\sqrt{2}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Passaggio 10.3.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Passaggio 10.3.3.4

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Passaggio 10.3.3.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 10.3.3.6

Somma $1$ e $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 10.3.3.7

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 10.3.3.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 10.3.3.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 10.3.3.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.3.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 10.3.3.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 10.3.3.7.5

Calcola l'esponente.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 10.3.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 11

Questa è la soluzione per ogni valore trigonometrico.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

$\cos (θ) = \frac{1}{3}$

$\tan (θ) = - 2 \sqrt{2}$

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\sec (θ) = 3$

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{4}$