Trigonometria Esempi

$2 \sin^{2} (θ) + \sin (θ) - 1 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = \sin (θ)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $\sin (θ)$ con $u$ .

$2 u^{2} + u - 1 = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e la cui somma è $b = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Moltiplica per $1$ .

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

Passaggio 1.2.1.2

Riscrivi $1$ come $- 1$ più $2$ .

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

Passaggio 1.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Passaggio 1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(2 u^{2} - 1 u) + 2 u - 1 = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

Passaggio 1.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (θ)$ .

$(2 \sin (θ) - 1) (\sin (θ) + 1) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

$\sin (θ) + 1 = 0$

Passaggio 3

Imposta $2 \sin (θ) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta $2 \sin (θ) - 1$ uguale a $0$ .

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $2 \sin (θ) - 1 = 0$ per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 \sin (θ) = 1$

Passaggio 3.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \sin (θ) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \sin (θ) = 1$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2.2.2.1.2

Dividi $\sin (θ)$ per $1$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2.3

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 3.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{1}{2})$ è $30$ .

$θ = 30$

Passaggio 3.2.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$θ = 180 - 30$

Passaggio 3.2.6

Sottrai $30$ da $180$ .

$θ = 150$

Passaggio 3.2.7

Trova il periodo di $\sin (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 3.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{360}{1}$

Passaggio 3.2.7.4

Dividi $360$ per $1$ .

$360$

Passaggio 3.2.8

Il periodo della funzione $\sin (θ)$ è $360$ , quindi i valori si ripetono ogni $360$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Imposta $\sin (θ) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $\sin (θ) + 1$ uguale a $0$ .

$\sin (θ) + 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\sin (θ) + 1 = 0$ per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin (θ) = - 1$

Passaggio 4.2.2

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arcsin (- 1)$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Il valore esatto di $\arcsin (- 1)$ è $- 90$ .

$θ = - 90$

Passaggio 4.2.4

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $360$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $180$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$θ = 360 + 90 + 180$

Passaggio 4.2.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Sottrai $360 °$ da $360 + 90 + 180 °$ .

$θ = 360 + 90 + 180 ° - 360 °$

Passaggio 4.2.5.2

L'angolo risultante di $270 °$ è positivo, minore di $360 °$ e coterminale con $360 + 90 + 180$ .

$θ = 270 °$

Passaggio 4.2.6

Trova il periodo di $\sin (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 4.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{360}{1}$

Passaggio 4.2.6.4

Dividi $360$ per $1$ .

$360$

Passaggio 4.2.7

Somma $360$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.1

Somma $360$ a $- 90$ per trovare l'angolo positivo.

$- 90 + 360$

Passaggio 4.2.7.2

Sottrai $90$ da $360$ .

$270$

Passaggio 4.2.7.3

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$θ = 270$

Passaggio 4.2.8

Il periodo della funzione $\sin (θ)$ è $360$ , quindi i valori si ripetono ogni $360$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 270 + 360 n, 270 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 \sin (θ) - 1) (\sin (θ) + 1) = 0$ vera.

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n, 270 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Consolida le risposte.

$θ = 30 + 120 n$ , per qualsiasi intero $n$