Trigonometria Esempi

$\cos^{2} (x) - \cos (x) = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Sia $u = \cos (x)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $\cos (x)$ con $u$ .

$u^{2} - u = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi $u$ da $u^{2} - u$ .

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $u$ da $u^{2}$ .

$u \cdot u - u = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $u$ da $- u$ .

$u \cdot u + u \cdot - 1 = 0$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $u$ da $u \cdot u + u \cdot - 1$ .

$u (u - 1) = 0$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\cos (x) - 1) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 3

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $\cos (x) = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 3.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.2.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 3.2.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.2.4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.2.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 3.2.4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 3.2.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 3.2.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 3.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.2.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Imposta $\cos (x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $\cos (x) - 1$ uguale a $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\cos (x) - 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (x) = 1$

Passaggio 4.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (1)$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.3.1

Il valore esatto di $\arccos (1)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 4.2.4

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Passaggio 4.2.5

Sottrai $0$ da $2 π$ .

$x = 2 π$

Passaggio 4.2.6

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 4.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.2.6.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4.2.7

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $\cos (x) (\cos (x) - 1) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Consolida le risposte.

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Passaggio 6.1

Combina $\frac{π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ in $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6.2

Combina $2 π n$ e $2 π + 2 π n$ in $2 π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$