Trigonometria Esempi

$\csc (θ) = - \sqrt{5}$

Passaggio 1

Usa la definizione della cosecante per trovare i lati noti del triangolo destro nella circonferenza unitaria. Il quadrante determina il segno di ogni valore.

$\csc (θ) = \frac{ipotenusa}{opposto}$

Passaggio 2

Trova il lato adiacente del triangolo sulla circonferenza unitaria. Dato che l'ipotenusa e il lato opposto sono noti, usa il teorema di Pitagora per trovare il lato rimanente.

$Adiacente = \sqrt{{ipotenusa}^{2} - {opposto}^{2}}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti all'interno dell'equazione.

$Adiacente = \sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica l'interno del radicale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

Adiacente $= \sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Adiacente $= \sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

Adiacente $= \sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Elimina il fattore comune.

Adiacente $= \sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

Adiacente $= \sqrt{5 - {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.5

Calcola l'esponente.

Adiacente $= \sqrt{5 - {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

Adiacente $= \sqrt{5 + (- 1) {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

Adiacente $= \sqrt{5 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Passaggio 4.2.2

Somma $1$ e $2$ .

Adiacente $= \sqrt{5 + {(- 1)}^{3}}$

Passaggio 4.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

Adiacente $= \sqrt{5 - 1}$

Passaggio 4.4

Sottrai $1$ da $5$ .

Adiacente $= \sqrt{4}$

Passaggio 4.5

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

Adiacente $= \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 4.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

Adiacente $= 2$

Passaggio 5

Trova il valore del seno.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Usa la definizione di seno per trovare il valore di $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori noti.

$\sin (θ) = \frac{- 1}{\sqrt{5}}$

Passaggio 5.3

Semplifica il valore di $\sin (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sin (θ) = - \frac{1}{\sqrt{5}}$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Passaggio 5.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Passaggio 5.3.3.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Passaggio 5.3.3.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Passaggio 5.3.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 5.3.3.6

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Passaggio 5.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Passaggio 6

Trova il valore del coseno.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Usa la definizione di coseno per trovare il valore di $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti.

$\cos (θ) = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Passaggio 6.3

Semplifica il valore di $\cos (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cos (θ) = \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 6.3.2

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Passaggio 6.3.2.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Passaggio 6.3.2.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Passaggio 6.3.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Passaggio 6.3.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 6.3.2.6

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

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Passaggio 6.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 6.3.2.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 6.3.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.3.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.3.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 6.3.2.6.5

Calcola l'esponente.

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 7

Trova il valore della tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Usa la definizione di tangente per trovare il valore di $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti.

$\tan (θ) = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 7.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\tan (θ) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 8

Trova il valore della cotangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Usa la definizione di cotangente per trovare il valore di $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori noti.

$\cot (θ) = \frac{2}{- 1}$

Passaggio 8.3

Dividi $2$ per $- 1$ .

$\cot (θ) = - 2$

Passaggio 9

Trova il valore della secante.

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Passaggio 9.1

Usa la definizione di secante per trovare il valore di $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori noti.

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Passaggio 10

Questa è la soluzione per ogni valore trigonometrico.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$\tan (θ) = - \frac{1}{2}$

$\cot (θ) = - 2$

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{5}}{2}$

$\csc (θ) = - \sqrt{5}$