Trigonometria Esempi

$\sec^{4} (x) - \sec^{2} (x) = \tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato destro.

$\tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)$

Passaggio 2

Scomponi $\tan^{2} (x)$ da $\tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica per $1$ .

$\tan^{2} (x) \cdot 1 + \tan^{4} (x)$

Passaggio 2.2

Scomponi $\tan^{2} (x)$ da $\tan^{4} (x)$ .

$\tan^{2} (x) \cdot 1 + \tan^{2} (x) \tan^{2} (x)$

Passaggio 2.3

Scomponi $\tan^{2} (x)$ da $\tan^{2} (x) \cdot 1 + \tan^{2} (x) \tan^{2} (x)$ .

$\tan^{2} (x) (1 + \tan^{2} (x))$

Passaggio 3

Applica l'identità pitagorica.

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Passaggio 3.1

Rimetti in ordine i termini.

$\tan^{2} (x) (\tan^{2} (x) + 1)$

Passaggio 3.2

Applica l'identità pitagorica.

$\tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Passaggio 4

Applica l'identità pitagorica al contrario.

$(\sec^{2} (x) - 1) \sec^{2} (x)$

Passaggio 5

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 5.1

Applica l'identità reciproca a $\sec (x)$ .

$({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1) \sec^{2} (x)$

Passaggio 5.2

Applica l'identità reciproca a $\sec (x)$ .

$({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Passaggio 5.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Passaggio 5.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1) \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1) \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Passaggio 6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1 \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Passaggio 6.4

Combina.

$\frac{1 \cdot 1}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} - 1 \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Passaggio 6.5

Riscrivi $- 1 \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ come $- \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{1 \cdot 1}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Passaggio 6.6

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Passaggio 6.7

Moltiplica ${\cos (x)}^{2}$ per ${\cos (x)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.7.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2 + 2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Passaggio 6.7.2

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Passaggio 6.8

Per scrivere $- \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Passaggio 6.9

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di ${\cos (x)}^{4}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 6.9.1

Moltiplica $\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ per $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}$

Passaggio 6.9.2

Moltiplica ${\cos (x)}^{2}$ per ${\cos (x)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.9.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2 + 2}}$

Passaggio 6.9.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{4}}$

Passaggio 6.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{4}}$

Passaggio 6.11

Semplifica il numeratore.

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos^{4} (x)}$

Passaggio 7

Riscrivi $\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos^{4} (x)}$ come $\sec^{4} (x) - \sec^{2} (x)$ .

$\sec^{4} (x) - \sec^{2} (x)$

Passaggio 8

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\sec^{4} (x) - \sec^{2} (x) = \tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)$ è un'identità