Trigonometria Esempi

$\sin (θ) \cot (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

Passaggio 1

Sostituisci $\cos^{2} (θ)$ con $1 - \sin^{2} (θ)$ .

$\sin (θ) \cot (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi in termini di seni e coseni, quindi cancella i fattori in comune.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Riordina $\sin (θ)$ e $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) \sin (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi $\sin (θ) \cot (θ)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \sin (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

Passaggio 2.1.3

Elimina i fattori comuni.

$\cos (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

Passaggio 2.2

Applica l'identità pitagorica.

$\cos (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

Passaggio 3

Scomponi $\cos (θ)$ da $\cos (θ) - \cos^{2} (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $\cos (θ)$ da $\cos^{1} (θ)$ .

$\cos (θ) \cdot 1 - \cos^{2} (θ) = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $\cos (θ)$ da $- \cos^{2} (θ)$ .

$\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \cos (θ)) = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi $\cos (θ)$ da $\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \cos (θ))$ .

$\cos (θ) (1 - \cos (θ)) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$1 - \cos (θ) = 0$

Passaggio 5

Imposta $\cos (θ)$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $\cos (θ)$ uguale a $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $\cos (θ) = 0$ per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arccos (0)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $90$ .

$θ = 90$

Passaggio 5.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $360$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = 360 - 90$

Passaggio 5.2.4

Sottrai $90$ da $360$ .

$θ = 270$

Passaggio 5.2.5

Trova il periodo di $\cos (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 5.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{360}{1}$

Passaggio 5.2.5.4

Dividi $360$ per $1$ .

$360$

Passaggio 5.2.6

Il periodo della funzione $\cos (θ)$ è $360$ , quindi i valori si ripetono ogni $360$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Imposta $1 - \cos (θ)$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $1 - \cos (θ)$ uguale a $0$ .

$1 - \cos (θ) = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $1 - \cos (θ) = 0$ per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \cos (θ) = - 1$

Passaggio 6.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \cos (θ) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \cos (θ) = - 1$ .

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 6.2.2.2.2

Dividi $\cos (θ)$ per $1$ .

$\cos (θ) = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$\cos (θ) = 1$

Passaggio 6.2.3

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arccos (1)$

Passaggio 6.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (1)$ è $0$ .

$θ = 0$

Passaggio 6.2.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $360$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = 360 - 0$

Passaggio 6.2.6

Sottrai $0$ da $360$ .

$θ = 360$

Passaggio 6.2.7

Trova il periodo di $\cos (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 6.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 1 |}$

Passaggio 6.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{360}{1}$

Passaggio 6.2.7.4

Dividi $360$ per $1$ .

$360$

Passaggio 6.2.8

Il periodo della funzione $\cos (θ)$ è $360$ , quindi i valori si ripetono ogni $360$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 360 n, 360 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $\cos (θ) (1 - \cos (θ)) = 0$ vera.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n, 360 n, 360 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Consolida le risposte.

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Passaggio 8.1

Combina $90 + 360 n$ e $270 + 360 n$ in $90 + 180 n$ .

$θ = 90 + 180 n, 360 n, 360 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8.2

Combina $360 n$ e $360 + 360 n$ in $360 n$ .

$θ = 90 + 180 n, 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Escludi le soluzioni che non rendono $\sin (θ) \cot (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$ vera.

$θ = 90, 270, 360, 450, 630, 720, 810, 990, 1080, 1170, 1350, 1440, 1800, 2160, 2520$ , per qualsiasi intero $n$