Trigonometria Esempi

$2 \sec^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Passaggio 1

Sostituisci $2 \sec^{2} (θ)$ con $2 (1 + \tan^{2} (θ))$ in base all'identità $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$2 (1 + \tan^{2} (θ)) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 \tan^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Passaggio 2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + 2 \tan^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Passaggio 3

Riordina il polinomio.

$- \tan^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) + 2 = - 1$

Passaggio 4

Sostituisci $u = \tan^{2} (θ)$ nell'equazione. In questo modo la formula quadratica sarà più facile da usare.

$- u^{2} + 2 u + 2 = - 1$

$u = \tan^{2} (θ)$

Passaggio 5

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- u^{2} + 2 u + 2 + 1 = 0$

Passaggio 6

Somma $2$ e $1$ .

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

Passaggio 7

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 7.1

Scomponi $- 1$ da $- u^{2} + 2 u + 3$ .

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Passaggio 7.1.1

Scomponi $- 1$ da $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) + 2 u + 3 = 0$

Passaggio 7.1.2

Scomponi $- 1$ da $2 u$ .

$- (u^{2}) - (- 2 u) + 3 = 0$

Passaggio 7.1.3

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$- (u^{2}) - (- 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Passaggio 7.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (u^{2}) - (- 2 u)$ .

$- (u^{2} - 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Passaggio 7.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (u^{2} - 2 u) - 1 (- 3)$ .

$- (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

Passaggio 7.2

Scomponi.

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Passaggio 7.2.1

Scomponi $u^{2} - 2 u - 3$ usando il metodo AC.

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Passaggio 7.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 3$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 3, 1$

Passaggio 7.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$- ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Passaggio 7.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (u - 3) (u + 1) = 0$

Passaggio 8

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

Passaggio 9

Imposta $u - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 9.1

Imposta $u - 3$ uguale a $0$ .

$u - 3 = 0$

Passaggio 9.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 3$

Passaggio 10

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 10.1

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

Passaggio 10.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 1$

Passaggio 11

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (u - 3) (u + 1) = 0$ vera.

$u = 3, - 1$

Passaggio 12

Sostituisci nuovamente il valore reale di $u = \tan^{2} (θ)$ nell'equazione risolta.

$\tan^{2} (θ) = 3$

${(\tan^{2} (θ))}^{1} = - 1$

Passaggio 13

Risolvi la prima equazione per $\tan (θ)$ .

$\tan^{2} (θ) = 3$

Passaggio 14

Risolvi l'equazione per $\tan (θ)$ .

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Passaggio 14.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{3}$

Passaggio 14.2

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 14.2.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

Passaggio 14.2.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

Passaggio 14.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 15

Risolvi la seconda equazione per $\tan (θ)$ .

${(\tan^{2} (θ))}^{1} = - 1$

Passaggio 16

Risolvi l'equazione per $\tan (θ)$ .

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Passaggio 16.1

Rimuovi le parentesi.

$\tan^{2} (θ) = - 1$

Passaggio 16.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{- 1}$

Passaggio 16.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$\tan (θ) = \pm i$

Passaggio 16.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 16.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\tan (θ) = i$

Passaggio 16.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\tan (θ) = - i$

Passaggio 16.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\tan (θ) = i, - i$

Passaggio 17

La soluzione di $- \tan^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) + 2 = - 1$ è $\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$ .

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$

Passaggio 18

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $θ$ .

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

$\tan (θ) = i$

$\tan (θ) = - i$

Passaggio 19

Risolvi per $θ$ in $\tan (θ) = \sqrt{3}$ .

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Passaggio 19.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$θ = \arctan (\sqrt{3})$

Passaggio 19.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 19.2.1

Il valore esatto di $\arctan (\sqrt{3})$ è $60$ .

$θ = 60$

Passaggio 19.3

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = 180 + 60$

Passaggio 19.4

Somma $180$ e $60$ .

$θ = 240$

Passaggio 19.5

Trova il periodo di $\tan (θ)$ .

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Passaggio 19.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Passaggio 19.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{180}{| 1 |}$

Passaggio 19.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{180}{1}$

Passaggio 19.5.4

Dividi $180$ per $1$ .

$180$

Passaggio 19.6

Il periodo della funzione $\tan (θ)$ è $180$ , quindi i valori si ripetono ogni $180$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 60 + 180 n, 240 + 180 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 20

Risolvi per $θ$ in $\tan (θ) = - \sqrt{3}$ .

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Passaggio 20.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$θ = \arctan (- \sqrt{3})$

Passaggio 20.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 20.2.1

Il valore esatto di $\arctan (- \sqrt{3})$ è $- 60$ .

$θ = - 60$

Passaggio 20.3

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$θ = - 60 - 180$

Passaggio 20.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 20.4.1

Somma $360 °$ a $- 60 - 180 °$ .

$θ = - 60 - 180 ° + 360 °$

Passaggio 20.4.2

L'angolo risultante di $120 °$ è positivo e coterminale con $- 60 - 180$ .

$θ = 120 °$

Passaggio 20.5

Trova il periodo di $\tan (θ)$ .

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Passaggio 20.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Passaggio 20.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{180}{| 1 |}$

Passaggio 20.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{180}{1}$

Passaggio 20.5.4

Dividi $180$ per $1$ .

$180$

Passaggio 20.6

Somma $180$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 20.6.1

Somma $180$ a $- 60$ per trovare l'angolo positivo.

$- 60 + 180$

Passaggio 20.6.2

Sottrai $60$ da $180$ .

$120$

Passaggio 20.6.3

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$θ = 120$

Passaggio 20.7

Il periodo della funzione $\tan (θ)$ è $180$ , quindi i valori si ripetono ogni $180$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 120 + 180 n, 120 + 180 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 21

Risolvi per $θ$ in $\tan (θ) = i$ .

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Passaggio 21.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$θ = \arctan (i)$

Passaggio 21.2

L'inverso della tangente di $\arctan (i)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 22

Risolvi per $θ$ in $\tan (θ) = - i$ .

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Passaggio 22.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$θ = \arctan (- i)$

Passaggio 22.2

L'inverso della tangente di $\arctan (- i)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 23

Elenca tutte le soluzioni.

$θ = 60 + 180 n, 240 + 180 n, 120 + 180 n, 120 + 180 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 24

Consolida le soluzioni.

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Passaggio 24.1

Combina $60 + 180 n$ e $240 + 180 n$ in $60 + 180 n$ .

$θ = 60 + 180 n, 120 + 180 n, 120 + 180 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 24.2

Combina $120 + 180 n$ e $120 + 180 n$ in $120 + 180 n$ .

$θ = 60 + 180 n, 120 + 180 n$ , per qualsiasi intero $n$