Trigonometria Esempi

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1} = 2 \tan^{2} (θ)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1}$

Passaggio 2

Sottrai le frazioni.

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Passaggio 2.1

Per scrivere $\frac{1}{\csc (θ) - 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\csc (θ) + 1}{\csc (θ) + 1}$ .

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} \cdot \frac{\csc (θ) + 1}{\csc (θ) + 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1}$

Passaggio 2.2

Per scrivere $- \frac{1}{\csc (θ) + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\csc (θ) - 1}{\csc (θ) - 1}$ .

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} \cdot \frac{\csc (θ) + 1}{\csc (θ) + 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1} \cdot \frac{\csc (θ) - 1}{\csc (θ) - 1}$

Passaggio 2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 1)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\csc (θ) - 1}$ per $\frac{\csc (θ) + 1}{\csc (θ) + 1}$ .

$\frac{\csc (θ) + 1}{(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 1)} - \frac{1}{\csc (θ) + 1} \cdot \frac{\csc (θ) - 1}{\csc (θ) - 1}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{1}{\csc (θ) + 1}$ per $\frac{\csc (θ) - 1}{\csc (θ) - 1}$ .

$\frac{\csc (θ) + 1}{(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 1)} - \frac{\csc (θ) - 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i fattori di $(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 1)$ .

$\frac{\csc (θ) + 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)} - \frac{\csc (θ) - 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\csc (θ) + 1 - (\csc (θ) - 1)}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Passaggio 3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\csc (θ) + 1 - \csc (θ) - - 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\csc (θ) + 1 - \csc (θ) + 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Passaggio 3.2

Sottrai $\csc (θ)$ da $\csc (θ)$ .

$\frac{0 + 1 + 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1 + 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Passaggio 3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Passaggio 4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.1

Espandi $(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2}{\csc (θ) (\csc (θ) - 1) + 1 (\csc (θ) - 1)}$

Passaggio 4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2}{\csc (θ) \csc (θ) + \csc (θ) \cdot - 1 + 1 (\csc (θ) - 1)}$

Passaggio 4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2}{\csc (θ) \csc (θ) + \csc (θ) \cdot - 1 + 1 \csc (θ) + 1 \cdot - 1}$

Passaggio 4.2

Semplifica e combina i termini simili.

$\frac{2}{\csc^{2} (θ) - 1}$

Passaggio 5

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{2}{\cot^{2} (θ)}$

Passaggio 6

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 6.1

Scrivi $\cot (θ)$ in seno e coseno usando l'identità quoziente.

$\frac{2}{{(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}}$

Passaggio 6.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{2}{\frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

Passaggio 7.2

$2$ e $\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$ .

$\frac{2 \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Passaggio 8

Riscrivi $\frac{2 \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ come $2 \tan^{2} (θ)$ .

$2 \tan^{2} (θ)$

Passaggio 9

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1} = 2 \tan^{2} (θ)$ è un'identità