Trigonometria Esempi

$4 \sin^{2} (x) = 3$

Passaggio 1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 \sin^{2} (x) = 3$ e semplifica.

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Passaggio 1.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 \sin^{2} (x) = 3$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Passaggio 1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Passaggio 1.2.1.2

Dividi $\sin^{2} (x)$ per $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Passaggio 2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Passaggio 3

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{3}{4}}$ come $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 3.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 5

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Passaggio 6.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ è $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Passaggio 6.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{3}$

Passaggio 6.4

Semplifica $π - \frac{π}{3}$ .

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Passaggio 6.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 6.4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 6.4.2.1

$π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 6.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 6.4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.4.3.1

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Passaggio 6.4.3.2

Sottrai $π$ da $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 6.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 6.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 6.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 6.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 6.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Passaggio 7.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ è $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Passaggio 7.3

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Passaggio 7.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 7.4.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Passaggio 7.4.2

L'angolo risultante di $\frac{4 π}{3}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 7.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 7.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 7.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 7.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 7.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 7.6

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 7.6.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{3}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Passaggio 7.6.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 7.6.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.6.3.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 7.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 7.6.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.6.4.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 7.6.4.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Passaggio 7.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 7.7

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Consolida le soluzioni.

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Passaggio 9.1

Combina $\frac{π}{3} + 2 π n$ e $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ in $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9.2

Combina $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ e $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ in $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$