Trigonometria Esempi

$\frac{1 + \cos (3 t)}{\sin (3 t)} + \frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)} = 2 \csc (3 t)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\frac{1 + \cos (3 t)}{\sin (3 t)} + \frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)}$

Passaggio 2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.1

Per scrivere $\frac{1 + \cos (3 t)}{\sin (3 t)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 + \cos (3 t)}{1 + \cos (3 t)}$ .

$\frac{1 + \cos (3 t)}{\sin (3 t)} \cdot \frac{1 + \cos (3 t)}{1 + \cos (3 t)} + \frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)}$

Passaggio 2.2

Per scrivere $\frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sin (3 t)}{\sin (3 t)}$ .

$\frac{1 + \cos (3 t)}{\sin (3 t)} \cdot \frac{1 + \cos (3 t)}{1 + \cos (3 t)} + \frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)} \cdot \frac{\sin (3 t)}{\sin (3 t)}$

Passaggio 2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\frac{1 + \cos (3 t)}{\sin (3 t)}$ per $\frac{1 + \cos (3 t)}{1 + \cos (3 t)}$ .

$\frac{(1 + \cos (3 t)) (1 + \cos (3 t))}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))} + \frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)} \cdot \frac{\sin (3 t)}{\sin (3 t)}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)}$ per $\frac{\sin (3 t)}{\sin (3 t)}$ .

$\frac{(1 + \cos (3 t)) (1 + \cos (3 t))}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))} + \frac{\sin (3 t) \sin (3 t)}{(1 + \cos (3 t)) \sin (3 t)}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i fattori di $(1 + \cos (3 t)) \sin (3 t)$ .

$\frac{(1 + \cos (3 t)) (1 + \cos (3 t))}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))} + \frac{\sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(1 + \cos (3 t)) (1 + \cos (3 t)) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Passaggio 2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.5.1

Espandi $(1 + \cos (3 t)) (1 + \cos (3 t))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (1 + \cos (3 t)) + \cos (3 t) (1 + \cos (3 t)) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Passaggio 2.5.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cos (3 t) + \cos (3 t) (1 + \cos (3 t)) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Passaggio 2.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cos (3 t) + \cos (3 t) \cdot 1 + \cos (3 t) \cos (3 t) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.5.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1 + 1 \cos (3 t) + \cos (3 t) \cdot 1 + \cos (3 t) \cos (3 t) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Passaggio 2.5.2.1.2

Moltiplica $\cos (3 t)$ per $1$ .

$\frac{1 + \cos (3 t) + \cos (3 t) \cdot 1 + \cos (3 t) \cos (3 t) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Passaggio 2.5.2.1.3

Moltiplica $\cos (3 t)$ per $1$ .

$\frac{1 + \cos (3 t) + \cos (3 t) + \cos (3 t) \cos (3 t) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Passaggio 2.5.2.1.4

Moltiplica $\cos (3 t) \cos (3 t)$ .

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Passaggio 2.5.2.1.4.1

Eleva $\cos (3 t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 + \cos (3 t) + \cos (3 t) + \cos^{1} (3 t) \cos (3 t) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Passaggio 2.5.2.1.4.2

Eleva $\cos (3 t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 + \cos (3 t) + \cos (3 t) + \cos^{1} (3 t) \cos^{1} (3 t) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Passaggio 2.5.2.1.4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1 + \cos (3 t) + \cos (3 t) + {\cos (3 t)}^{1 + 1} + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Passaggio 2.5.2.1.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1 + \cos (3 t) + \cos (3 t) + \cos^{2} (3 t) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Passaggio 2.5.2.2

Somma $\cos (3 t)$ e $\cos (3 t)$ .

$\frac{1 + 2 \cos (3 t) + \cos^{2} (3 t) + \sin (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $\sin (3 t) \sin (3 t)$ .

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Passaggio 2.5.3.1

Eleva $\sin (3 t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (3 t) + \cos^{2} (3 t) + \sin^{1} (3 t) \sin (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Passaggio 2.5.3.2

Eleva $\sin (3 t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (3 t) + \cos^{2} (3 t) + \sin^{1} (3 t) \sin^{1} (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Passaggio 2.5.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1 + 2 \cos (3 t) + \cos^{2} (3 t) + {\sin (3 t)}^{1 + 1}}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Passaggio 2.5.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (3 t) + \cos^{2} (3 t) + \sin^{2} (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Passaggio 2.5.4

Riscrivi $1 + 2 \cos (3 t) + \cos^{2} (3 t) + \sin^{2} (3 t)$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 2.5.4.1

Rimetti in ordine i termini.

$\frac{1 + 2 \cos (3 t) + \sin^{2} (3 t) + \cos^{2} (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Passaggio 2.5.4.2

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{1 + 2 \cos (3 t) + 1}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Passaggio 2.5.4.3

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 + 2 \cos (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Passaggio 2.5.4.4

Scomponi $2$ da $2 + 2 \cos (3 t)$ .

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Passaggio 2.5.4.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (3 t)}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Passaggio 2.5.4.4.2

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1 + 2 \cos (3 t)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (3 t))}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Passaggio 2.6

Elimina il fattore comune di $1 + \cos (3 t)$ .

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Passaggio 2.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (1 + \cos (3 t))}{\sin (3 t) (1 + \cos (3 t))}$

Passaggio 2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{\sin (3 t)}$

Passaggio 3

Riscrivi $\frac{2}{\sin (3 t)}$ come $2 \csc (3 t)$ .

$2 \csc (3 t)$

Passaggio 4

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{1 + \cos (3 t)}{\sin (3 t)} + \frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)} = 2 \csc (3 t)$ è un'identità