Trigonometria Esempi

$4 \cos (x) = - \sin^{2} (x) + 1$

Passaggio 1

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Somma $\sin^{2} (x)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 \cos (x) + \sin^{2} (x) = 1$

Passaggio 1.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 \cos (x) + \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Passaggio 2

Semplifica $4 \cos (x) + \sin^{2} (x) - 1$ .

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Passaggio 2.1

Riordina $\sin^{2} (x)$ e $- 1$ .

$4 \cos (x) - 1 + \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$4 \cos (x) - 1 (1) + \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi $- 1$ da $\sin^{2} (x)$ .

$4 \cos (x) - 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2.4

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$4 \cos (x) - 1 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2.5

Riscrivi $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ come $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$4 \cos (x) - (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2.6

Applica l'identità pitagorica.

$4 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 3.1.1

Sia $u = \cos (x)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $\cos (x)$ con $u$ .

$4 u - u^{2} = 0$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $u$ da $4 u - u^{2}$ .

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Passaggio 3.1.2.1

Scomponi $u$ da $4 u$ .

$u \cdot 4 - u^{2} = 0$

Passaggio 3.1.2.2

Scomponi $u$ da $- u^{2}$ .

$u \cdot 4 + u (- u) = 0$

Passaggio 3.1.2.3

Scomponi $u$ da $u \cdot 4 + u (- u)$ .

$u (4 - u) = 0$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$\cos (x) (4 - \cos (x)) = 0$

Passaggio 3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$4 - \cos (x) = 0$

Passaggio 3.3

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.3.1

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 3.3.2

Risolvi $\cos (x) = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 3.3.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.3.2.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 3.3.2.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.3.2.4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.3.2.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.3.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 3.3.2.4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 3.3.2.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 3.3.2.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 3.3.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.3.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.3.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.3.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.3.2.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.4

Imposta $4 - \cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.4.1

Imposta $4 - \cos (x)$ uguale a $0$ .

$4 - \cos (x) = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $4 - \cos (x) = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.4.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \cos (x) = - 4$

Passaggio 3.4.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \cos (x) = - 4$ e semplifica.

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Passaggio 3.4.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \cos (x) = - 4$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.4.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.2.2.2

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.4.2.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$\cos (x) = 4$

Passaggio 3.4.2.3

L'intervallo del coseno è $- 1 \leq y \leq 1$ . Dato che $4$ non rientra nell'intervallo, non c'è soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $\cos (x) (4 - \cos (x)) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$