Trigonometria Esempi

$9 \sec^{2} (θ) \tan (θ) = 12 \tan (θ)$

Passaggio 1

Sottrai $12 \tan (θ)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 \sec^{2} (θ) \tan (θ) - 12 \tan (θ) = 0$

Passaggio 2

Scomponi $3 \tan (θ)$ da $9 \sec^{2} (θ) \tan (θ) - 12 \tan (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $3 \tan (θ)$ da $9 \sec^{2} (θ) \tan (θ)$ .

$3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ)) - 12 \tan (θ) = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $3 \tan (θ)$ da $- 12 \tan (θ)$ .

$3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ)) + 3 \tan (θ) \cdot - 4 = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi $3 \tan (θ)$ da $3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ)) + 3 \tan (θ) \cdot - 4$ .

$3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ) - 4) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\tan (θ) = 0$

$3 \sec^{2} (θ) - 4 = 0$

Passaggio 4

Imposta $\tan (θ)$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $\tan (θ)$ uguale a $0$ .

$\tan (θ) = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\tan (θ) = 0$ per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$θ = \arctan (0)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Il valore esatto di $\arctan (0)$ è $0$ .

$θ = 0$

Passaggio 4.2.3

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = 180 + 0$

Passaggio 4.2.4

Somma $180$ e $0$ .

$θ = 180$

Passaggio 4.2.5

Trova il periodo di $\tan (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Passaggio 4.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{180}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{180}{1}$

Passaggio 4.2.5.4

Dividi $180$ per $1$ .

$180$

Passaggio 4.2.6

Il periodo della funzione $\tan (θ)$ è $180$ , quindi i valori si ripetono ogni $180$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 180 n, 180 + 180 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

Imposta $3 \sec^{2} (θ) - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $3 \sec^{2} (θ) - 4$ uguale a $0$ .

$3 \sec^{2} (θ) - 4 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $3 \sec^{2} (θ) - 4 = 0$ per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 \sec^{2} (θ) = 4$

Passaggio 5.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 \sec^{2} (θ) = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 \sec^{2} (θ) = 4$ .

$\frac{3 \sec^{2} (θ)}{3} = \frac{4}{3}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \sec^{2} (θ)}{3} = \frac{4}{3}$

Passaggio 5.2.2.2.1.2

Dividi $\sec^{2} (θ)$ per $1$ .

$\sec^{2} (θ) = \frac{4}{3}$

Passaggio 5.2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sec (θ) = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{4}{3}}$ come $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.2.4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.2.4.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\sec (θ) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.2.4.3

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.2.4.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.4.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 5.2.4.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 5.2.4.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 5.2.4.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.2.4.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 5.2.4.4.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.2.4.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.2.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.2.4.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.2.4.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 5.2.4.4.6.5

Calcola l'esponente.

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 5.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 5.2.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 5.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 5.2.6

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $θ$ .

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 5.2.7

Risolvi per $θ$ in $\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $θ$ dall'interno della secante.

$θ = arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 5.2.7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.2.1

Il valore esatto di $arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ è $30$ .

$θ = 30$

Passaggio 5.2.7.3

La funzione secante è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $360$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = 360 - 30$

Passaggio 5.2.7.4

Sottrai $30$ da $360$ .

$θ = 330$

Passaggio 5.2.7.5

Trova il periodo di $\sec (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 5.2.7.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.7.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{360}{1}$

Passaggio 5.2.7.5.4

Dividi $360$ per $1$ .

$360$

Passaggio 5.2.7.6

Il periodo della funzione $\sec (θ)$ è $360$ , quindi i valori si ripetono ogni $360$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 30 + 360 n, 330 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5.2.8

Risolvi per $θ$ in $\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.1

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $θ$ dall'interno della secante.

$θ = arcsec (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 5.2.8.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.2.1

Il valore esatto di $arcsec (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ è $150$ .

$θ = 150$

Passaggio 5.2.8.3

La funzione secante è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $360$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$θ = 360 - 150$

Passaggio 5.2.8.4

Sottrai $150$ da $360$ .

$θ = 210$

Passaggio 5.2.8.5

Trova il periodo di $\sec (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 5.2.8.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.8.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{360}{1}$

Passaggio 5.2.8.5.4

Dividi $360$ per $1$ .

$360$

Passaggio 5.2.8.6

Il periodo della funzione $\sec (θ)$ è $360$ , quindi i valori si ripetono ogni $360$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 150 + 360 n, 210 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5.2.9

Elenca tutte le soluzioni.

$θ = 30 + 360 n, 330 + 360 n, 150 + 360 n, 210 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5.2.10

Consolida le soluzioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.10.1

Combina $30 + 360 n$ e $210 + 360 n$ in $30 + 180 n$ .

$θ = 30 + 180 n, 330 + 360 n, 150 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5.2.10.2

Combina $330 + 360 n$ e $150 + 360 n$ in $150 + 180 n$ .

$θ = 30 + 180 n, 150 + 180 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ) - 4) = 0$ vera.

$θ = 180 n, 180 + 180 n, 30 + 180 n, 150 + 180 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Combina $180 n$ e $180 + 180 n$ in $180 n$ .

$θ = 180 n, 30 + 180 n, 150 + 180 n$ , per qualsiasi intero $n$