Trigonometria Esempi

$6 \sec^{2} (θ) \tan (θ) = 12 \tan (θ)$

Passaggio 1

Sottrai $12 \tan (θ)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 \sec^{2} (θ) \tan (θ) - 12 \tan (θ) = 0$

Passaggio 2

Scomponi $6 \tan (θ)$ da $6 \sec^{2} (θ) \tan (θ) - 12 \tan (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $6 \tan (θ)$ da $6 \sec^{2} (θ) \tan (θ)$ .

$6 \tan (θ) \sec^{2} (θ) - 12 \tan (θ) = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $6 \tan (θ)$ da $- 12 \tan (θ)$ .

$6 \tan (θ) \sec^{2} (θ) + 6 \tan (θ) \cdot - 2 = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi $6 \tan (θ)$ da $6 \tan (θ) \sec^{2} (θ) + 6 \tan (θ) \cdot - 2$ .

$6 \tan (θ) (\sec^{2} (θ) - 2) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\tan (θ) = 0$

$\sec^{2} (θ) - 2 = 0$

Passaggio 4

Imposta $\tan (θ)$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $\tan (θ)$ uguale a $0$ .

$\tan (θ) = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\tan (θ) = 0$ per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$θ = \arctan (0)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Il valore esatto di $\arctan (0)$ è $0$ .

$θ = 0$

Passaggio 4.2.3

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = 180 + 0$

Passaggio 4.2.4

Somma $180$ e $0$ .

$θ = 180$

Passaggio 4.2.5

Trova il periodo di $\tan (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Passaggio 4.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{180}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{180}{1}$

Passaggio 4.2.5.4

Dividi $180$ per $1$ .

$180$

Passaggio 4.2.6

Il periodo della funzione $\tan (θ)$ è $180$ , quindi i valori si ripetono ogni $180$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 180 n, 180 + 180 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

Imposta $\sec^{2} (θ) - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $\sec^{2} (θ) - 2$ uguale a $0$ .

$\sec^{2} (θ) - 2 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $\sec^{2} (θ) - 2 = 0$ per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\sec^{2} (θ) = 2$

Passaggio 5.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sec (θ) = \pm \sqrt{2}$

Passaggio 5.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\sec (θ) = \sqrt{2}$

Passaggio 5.2.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\sec (θ) = - \sqrt{2}$

Passaggio 5.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\sec (θ) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 5.2.4

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $θ$ .

$\sec (θ) = \sqrt{2}$

$\sec (θ) = - \sqrt{2}$

Passaggio 5.2.5

Risolvi per $θ$ in $\sec (θ) = \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $θ$ dall'interno della secante.

$θ = arcsec (\sqrt{2})$

Passaggio 5.2.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.2.1

Il valore esatto di $arcsec (\sqrt{2})$ è $45$ .

$θ = 45$

Passaggio 5.2.5.3

La funzione secante è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $360$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = 360 - 45$

Passaggio 5.2.5.4

Sottrai $45$ da $360$ .

$θ = 315$

Passaggio 5.2.5.5

Trova il periodo di $\sec (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 5.2.5.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.5.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{360}{1}$

Passaggio 5.2.5.5.4

Dividi $360$ per $1$ .

$360$

Passaggio 5.2.5.6

Il periodo della funzione $\sec (θ)$ è $360$ , quindi i valori si ripetono ogni $360$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 45 + 360 n, 315 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5.2.6

Risolvi per $θ$ in $\sec (θ) = - \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $θ$ dall'interno della secante.

$θ = arcsec (- \sqrt{2})$

Passaggio 5.2.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.2.1

Il valore esatto di $arcsec (- \sqrt{2})$ è $135$ .

$θ = 135$

Passaggio 5.2.6.3

La funzione secante è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $360$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$θ = 360 - 135$

Passaggio 5.2.6.4

Sottrai $135$ da $360$ .

$θ = 225$

Passaggio 5.2.6.5

Trova il periodo di $\sec (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 5.2.6.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.6.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{360}{1}$

Passaggio 5.2.6.5.4

Dividi $360$ per $1$ .

$360$

Passaggio 5.2.6.6

Il periodo della funzione $\sec (θ)$ è $360$ , quindi i valori si ripetono ogni $360$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 135 + 360 n, 225 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5.2.7

Elenca tutte le soluzioni.

$θ = 45 + 360 n, 315 + 360 n, 135 + 360 n, 225 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5.2.8

Consolida le risposte.

$θ = 45 + 90 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 \tan (θ) (\sec^{2} (θ) - 2) = 0$ vera.

$θ = 180 n, 180 + 180 n, 45 + 90 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Combina $180 n$ e $180 + 180 n$ in $180 n$ .

$θ = 180 n, 45 + 90 n$ , per qualsiasi intero $n$