Trigonometria Esempi

$2 \cos^{2} (θ) - \cos (θ) = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Sia $u = \cos (θ)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $\cos (θ)$ con $u$ .

$2 u^{2} - u = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi $u$ da $2 u^{2} - u$ .

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $u$ da $2 u^{2}$ .

$u (2 u) - u = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $u$ da $- u$ .

$u (2 u) + u \cdot - 1 = 0$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $u$ da $u (2 u) + u \cdot - 1$ .

$u (2 u - 1) = 0$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) (2 \cos (θ) - 1) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$2 \cos (θ) - 1 = 0$

Passaggio 3

Imposta $\cos (θ)$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $\cos (θ)$ uguale a $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $\cos (θ) = 0$ per $θ$ .

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Passaggio 3.2.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arccos (0)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $90$ .

$θ = 90$

Passaggio 3.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $360$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = 360 - 90$

Passaggio 3.2.4

Sottrai $90$ da $360$ .

$θ = 270$

Passaggio 3.2.5

Trova il periodo di $\cos (θ)$ .

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Passaggio 3.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 3.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{360}{1}$

Passaggio 3.2.5.4

Dividi $360$ per $1$ .

$360$

Passaggio 3.2.6

Il periodo della funzione $\cos (θ)$ è $360$ , quindi i valori si ripetono ogni $360$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Imposta $2 \cos (θ) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $2 \cos (θ) - 1$ uguale a $0$ .

$2 \cos (θ) - 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $2 \cos (θ) - 1 = 0$ per $θ$ .

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Passaggio 4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 \cos (θ) = 1$

Passaggio 4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (θ) = 1$ e semplifica.

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Passaggio 4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (θ) = 1$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.2.2.2.1.2

Dividi $\cos (θ)$ per $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.2.3

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Passaggio 4.2.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{1}{2})$ è $60$ .

$θ = 60$

Passaggio 4.2.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $360$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = 360 - 60$

Passaggio 4.2.6

Sottrai $60$ da $360$ .

$θ = 300$

Passaggio 4.2.7

Trova il periodo di $\cos (θ)$ .

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Passaggio 4.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 4.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{360}{1}$

Passaggio 4.2.7.4

Dividi $360$ per $1$ .

$360$

Passaggio 4.2.8

Il periodo della funzione $\cos (θ)$ è $360$ , quindi i valori si ripetono ogni $360$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $\cos (θ) (2 \cos (θ) - 1) = 0$ vera.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n, 60 + 360 n, 300 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Combina $90 + 360 n$ e $270 + 360 n$ in $90 + 180 n$ .

$θ = 90 + 180 n, 60 + 360 n, 300 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$