Trigonometria Esempi

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Passaggio 1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \cos (x)$ e $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 2

Espandi $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.1

Combina i termini opposti in $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Passaggio 3.1.1

Riordina i fattori nei termini di $\cos (x) (- \sin (x))$ e $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 3.1.2

Somma $- \cos (x) \sin (x)$ e $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 3.1.3

Somma $\cos (x) \cos (x)$ e $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 3.2.1.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 3.2.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 3.2.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Passaggio 3.2.3.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Passaggio 3.2.3.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Passaggio 3.2.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Passaggio 3.2.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Passaggio 4

Applica l'identità a doppio angolo per il coseno.

$\cos (2 x)$

Passaggio 5

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 6

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 7

Sostituisci i valori effettivi di $a = \cos (2 x)$ e $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + \cos^{2} (2 x)}$

Passaggio 8

Trova $| z |$ .

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Passaggio 8.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + \cos^{2} (2 x)}$

Passaggio 8.2

Somma $0$ e $\cos^{2} (2 x)$ .

$| z | = \sqrt{\cos^{2} (2 x)}$

Passaggio 8.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| z | = \cos (2 x)$

Passaggio 9

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{0}{\cos (2 x)})$

Passaggio 10

Sostituisci i valori di $θ = \arctan (\frac{0}{\cos (2 x)})$ e $| z | = \cos (2 x)$ .

$\cos (2 x) (\cos (\arctan (\frac{0}{\cos (2 x)})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\cos (2 x)})))$