Trigonometria Esempi

$(\cot (θ) - \sqrt{3}) (\sqrt{2} \sin (θ) + 1) = 0$

Passaggio 1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$

$\sqrt{2} \sin (θ) + 1 = 0$

Passaggio 2

Imposta $\cot (θ) - \sqrt{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta $\cot (θ) - \sqrt{3}$ uguale a $0$ .

$\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$

Passaggio 2.2

Risolvi $\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$ per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Somma $\sqrt{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\cot (θ) = \sqrt{3}$

Passaggio 2.2.2

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso della cotangente presente nell'equazione assegnata.

$θ = arccot (\sqrt{3})$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Il valore esatto di $arccot (\sqrt{3})$ è $30$ .

$θ = 30$

Passaggio 2.2.4

La funzione della cotangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = 180 + 30$

Passaggio 2.2.5

Somma $180$ e $30$ .

$θ = 210$

Passaggio 2.2.6

Trova il periodo di $\cot (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Passaggio 2.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{180}{| 1 |}$

Passaggio 2.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{180}{1}$

Passaggio 2.2.6.4

Dividi $180$ per $1$ .

$180$

Passaggio 2.2.7

Il periodo della funzione $\cot (θ)$ è $180$ , quindi i valori si ripetono ogni $180$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 30 + 180 n, 210 + 180 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Imposta $\sqrt{2} \sin (θ) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta $\sqrt{2} \sin (θ) + 1$ uguale a $0$ .

$\sqrt{2} \sin (θ) + 1 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $\sqrt{2} \sin (θ) + 1 = 0$ per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{2} \sin (θ) = - 1$

Passaggio 3.2.2

Dividi per $\sqrt{2}$ ciascun termine in $\sqrt{2} \sin (θ) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Dividi per $\sqrt{2}$ ciascun termine in $\sqrt{2} \sin (θ) = - 1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (θ)}{\sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $\sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{2} \sin (θ)}{\sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.2.2.2.1.2

Dividi $\sin (θ)$ per $1$ .

$\sin (θ) = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sin (θ) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.2.2.3.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Passaggio 3.2.2.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 3.2.2.3.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 3.2.2.3.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 3.2.2.3.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.2.2.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 3.2.2.3.3.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 3.2.2.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.2.2.3.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.2.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.2.2.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.2.2.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 3.2.2.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.2.3

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 3.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ è $- 45$ .

$θ = - 45$

Passaggio 3.2.5

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $360$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $180$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$θ = 360 + 45 + 180$

Passaggio 3.2.6

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 3.2.6.1

Sottrai $360 °$ da $360 + 45 + 180 °$ .

$θ = 360 + 45 + 180 ° - 360 °$

Passaggio 3.2.6.2

L'angolo risultante di $225 °$ è positivo, minore di $360 °$ e coterminale con $360 + 45 + 180$ .

$θ = 225 °$

Passaggio 3.2.7

Trova il periodo di $\sin (θ)$ .

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Passaggio 3.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 3.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{360}{1}$

Passaggio 3.2.7.4

Dividi $360$ per $1$ .

$360$

Passaggio 3.2.8

Somma $360$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 3.2.8.1

Somma $360$ a $- 45$ per trovare l'angolo positivo.

$- 45 + 360$

Passaggio 3.2.8.2

Sottrai $45$ da $360$ .

$315$

Passaggio 3.2.8.3

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$θ = 315$

Passaggio 3.2.9

Il periodo della funzione $\sin (θ)$ è $360$ , quindi i valori si ripetono ogni $360$ gradi in entrambe le direzioni.

$θ = 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(\cot (θ) - \sqrt{3}) (\sqrt{2} \sin (θ) + 1) = 0$ vera.

$θ = 30 + 180 n, 210 + 180 n, 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

Combina $30 + 180 n$ e $210 + 180 n$ in $30 + 180 n$ .

$θ = 30 + 180 n, 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$