Trigonometria Esempi

$\tan (105 °)$

Passaggio 1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel secondo quadrante.

$- \tan (75)$

Passaggio 2

Dividi $75$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$- \tan (30 + 45)$

Passaggio 3

Applica le formule di addizione degli angoli.

$- \frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Passaggio 4

Il valore esatto di $\tan (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Passaggio 5

Il valore esatto di $\tan (45)$ è $1$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Passaggio 6

Il valore esatto di $\tan (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (45)}$

Passaggio 7

Il valore esatto di $\tan (45)$ è $1$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

Passaggio 8

Semplifica $- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ .

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Passaggio 8.1

Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per $3$ .

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Passaggio 8.1.1

Moltiplica $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1})$

Passaggio 8.1.2

Combina.

$- \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1)}{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Passaggio 8.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Passaggio 8.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 8.3.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Passaggio 8.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{\sqrt{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Passaggio 8.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Passaggio 8.5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 8.5.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Passaggio 8.5.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Passaggio 8.5.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 8.5.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ nel numeratore.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

Passaggio 8.5.3.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

Passaggio 8.5.3.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$

Passaggio 8.6

Moltiplica $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ per $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})$

Passaggio 8.7

Moltiplica $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ per $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

Passaggio 8.8

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 8.9

Semplifica.

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Passaggio 8.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.10.1

Riordina i termini.

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Passaggio 8.10.2

Eleva $3 + \sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Passaggio 8.10.3

Eleva $3 + \sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} {(3 + \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Passaggio 8.10.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Passaggio 8.10.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Passaggio 8.11

Riscrivi ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ come $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ .

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Passaggio 8.12

Espandi $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 8.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Passaggio 8.12.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Passaggio 8.12.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 8.13

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 8.13.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.13.1.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 8.13.1.2

Sposta $3$ alla sinistra di $\sqrt{3}$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 8.13.1.3

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6}$

Passaggio 8.13.1.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6}$

Passaggio 8.13.1.5

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6}$

Passaggio 8.13.1.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Passaggio 8.13.2

Somma $9$ e $3$ .

$- \frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 8.13.3

Somma $3 \sqrt{3}$ e $3 \sqrt{3}$ .

$- \frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 8.14

Elimina il fattore comune di $12 + 6 \sqrt{3}$ e $6$ .

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Passaggio 8.14.1

Scomponi $6$ da $12$ .

$- \frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 8.14.2

Scomponi $6$ da $6 \sqrt{3}$ .

$- \frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6}$

Passaggio 8.14.3

Scomponi $6$ da $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ .

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6}$

Passaggio 8.14.4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.14.4.1

Scomponi $6$ da $6$ .

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 (1)}$

Passaggio 8.14.4.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Passaggio 8.14.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Passaggio 8.14.4.4

Dividi $2 + \sqrt{3}$ per $1$ .

$- (2 + \sqrt{3})$

Passaggio 8.15

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}$

Passaggio 8.16

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 - \sqrt{3}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- 2 - \sqrt{3}$

Forma decimale:

$- 3.73205080 \dots$