Trigonometria Esempi

$4 \sin^{2} (x) = 5 + 4 \cos (x)$

Passaggio 1

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 \sin^{2} (x) - 5 = 4 \cos (x)$

Passaggio 1.2

Sottrai $4 \cos (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 \sin^{2} (x) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

Passaggio 2

Sostituisci $4 \sin^{2} (x)$ con $4 (1 - \cos^{2} (x))$ in base all'identità $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \cos^{2} (x)) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

Passaggio 3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 \cdot 1 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

Passaggio 3.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

Passaggio 3.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$4 - 4 \cos^{2} (x) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

Passaggio 4

Sottrai $5$ da $4$ .

$- 4 \cos^{2} (x) - 1 - 4 \cos (x) = 0$

Passaggio 5

Riordina il polinomio.

$- 4 \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 6

Sostituisci $u$ a $\cos (x)$ .

$- 4 {(u)}^{2} - 4 u - 1 = 0$

Passaggio 7

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 7.1

Scomponi $- 1$ da $- 4 u^{2} - 4 u - 1$ .

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Passaggio 7.1.1

Scomponi $- 1$ da $- 4 u^{2}$ .

$- (4 u^{2}) - 4 u - 1 = 0$

Passaggio 7.1.2

Scomponi $- 1$ da $- 4 u$ .

$- (4 u^{2}) - (4 u) - 1 = 0$

Passaggio 7.1.3

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$- (4 u^{2}) - (4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Passaggio 7.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (4 u^{2}) - (4 u)$ .

$- (4 u^{2} + 4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Passaggio 7.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (4 u^{2} + 4 u) - 1 (1)$ .

$- (4 u^{2} + 4 u + 1) = 0$

Passaggio 7.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 7.2.1

Riscrivi $4 u^{2}$ come ${(2 u)}^{2}$ .

$- ({(2 u)}^{2} + 4 u + 1) = 0$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- ({(2 u)}^{2} + 4 u + 1^{2}) = 0$

Passaggio 7.2.3

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 1$

Passaggio 7.2.4

Riscrivi il polinomio.

$- ({(2 u)}^{2} + 2 \cdot (2 u) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 7.2.5

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = 2 u$ e $b = 1$ .

$- {(2 u + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 8

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- {(2 u + 1)}^{2} = 0$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- {(2 u + 1)}^{2} = 0$ .

$\frac{- {(2 u + 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{{(2 u + 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 8.2.2

Dividi ${(2 u + 1)}^{2}$ per $1$ .

${(2 u + 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

${(2 u + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 9

Poni $2 u + 1$ uguale a $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Passaggio 10

Risolvi per $u$ .

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Passaggio 10.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 u = - 1$

Passaggio 10.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 10.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = - 1$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 10.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 10.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 10.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 10.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u = - \frac{1}{2}$

Passaggio 11

Sostituisci $\cos (x)$ a $u$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 12

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Passaggio 13

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 13.1

Il valore esatto di $\arccos (- \frac{1}{2})$ è $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 14

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 15

Semplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Passaggio 15.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 15.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 15.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 15.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Passaggio 15.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 15.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Passaggio 15.3.2

Sottrai $2 π$ da $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 16

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 16.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 16.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 16.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 16.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 17

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$