Trigonometria Esempi

$3 \csc^{2} (x) - 4 = 0$

Passaggio 1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 \csc^{2} (x) = 4$

Passaggio 2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 \csc^{2} (x) = 4$ e semplifica.

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Passaggio 2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 \csc^{2} (x) = 4$ .

$\frac{3 \csc^{2} (x)}{3} = \frac{4}{3}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \csc^{2} (x)}{3} = \frac{4}{3}$

Passaggio 2.2.1.2

Dividi $\csc^{2} (x)$ per $1$ .

$\csc^{2} (x) = \frac{4}{3}$

Passaggio 3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\csc (x) = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Passaggio 4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{4}{3}}$ come $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 4.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\csc (x) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 4.4

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.4.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 4.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 4.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 4.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 4.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 4.4.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 4.4.6.5

Calcola l'esponente.

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 6

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 7

Risolvi per $x$ in $\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Passaggio 7.1

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dalla cosecante.

$x = arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.2.1

Il valore esatto di $arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ è $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Passaggio 7.3

La funzione della cosecante è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{3}$

Passaggio 7.4

Semplifica $π - \frac{π}{3}$ .

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Passaggio 7.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 7.4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.4.2.1

$π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 7.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 7.4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.4.3.1

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Passaggio 7.4.3.2

Sottrai $π$ da $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 7.5

Trova il periodo di $\csc (x)$ .

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Passaggio 7.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 7.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 7.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 7.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 7.6

Il periodo della funzione $\csc (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Risolvi per $x$ in $\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Passaggio 8.1

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dalla cosecante.

$x = arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.2.1

Il valore esatto di $arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ è $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Passaggio 8.3

La funzione della cosecante è negativa nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Passaggio 8.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 8.4.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Passaggio 8.4.2

L'angolo risultante di $\frac{4 π}{3}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 8.5

Trova il periodo di $\csc (x)$ .

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Passaggio 8.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 8.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 8.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 8.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 8.6

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 8.6.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{3}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Passaggio 8.6.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 8.6.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.3.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 8.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 8.6.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.6.4.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 8.6.4.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Passaggio 8.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 8.7

Il periodo della funzione $\csc (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10

Consolida le soluzioni.

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Passaggio 10.1

Combina $\frac{π}{3} + 2 π n$ e $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ in $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10.2

Combina $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ e $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ in $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$