Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{4 x^{2} - 16}{- 5 x + 10}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{4 x^{2} - 16}{- 5 x + 10}$ è indefinita.

$x = 2$

Passaggio 2

Si hanno asintoti verticali nelle aree di discontinuità infinita.

Nessun asintoto verticale

Passaggio 3

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 4

Trova $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Passaggio 5

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 6

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 6.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.1.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1.1.1

Scomponi $4$ da $4 x^{2} - 16$ .

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Passaggio 6.1.1.1.1

Scomponi $4$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2}) - 16}{- 5 x + 10}$

Passaggio 6.1.1.1.2

Scomponi $4$ da $- 16$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 4}{- 5 x + 10}$

Passaggio 6.1.1.1.3

Scomponi $4$ da $4 x^{2} + 4 \cdot - 4$ .

$\frac{4 (x^{2} - 4)}{- 5 x + 10}$

Passaggio 6.1.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2} - 2^{2})}{- 5 x + 10}$

Passaggio 6.1.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{4 (x + 2) (x - 2)}{- 5 x + 10}$

Passaggio 6.1.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 6.1.2.1

Scomponi $5$ da $- 5 x + 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Scomponi $5$ da $- 5 x$ .

$\frac{4 (x + 2) (x - 2)}{5 (- x) + 10}$

Passaggio 6.1.2.1.2

Scomponi $5$ da $10$ .

$\frac{4 (x + 2) (x - 2)}{5 (- x) + 5 (2)}$

Passaggio 6.1.2.1.3

Scomponi $5$ da $5 (- x) + 5 (2)$ .

$\frac{4 (x + 2) (x - 2)}{5 (- x + 2)}$

Passaggio 6.1.2.2

Elimina il fattore comune di $x - 2$ e $- x + 2$ .

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Passaggio 6.1.2.2.1

Scomponi $- 1$ da $x$ .

$\frac{4 (x + 2) (- 1 (- x) - 2)}{5 (- x + 2)}$

Passaggio 6.1.2.2.2

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$\frac{4 (x + 2) (- 1 (- x) - 1 (2))}{5 (- x + 2)}$

Passaggio 6.1.2.2.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (- x) - 1 (2)$ .

$\frac{4 (x + 2) (- 1 (- x + 2))}{5 (- x + 2)}$

Passaggio 6.1.2.2.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (x + 2) (- 1 (- x + 2))}{5 (- x + 2)}$

Passaggio 6.1.2.2.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 (x + 2) \cdot (- 1)}{5}$

Passaggio 6.1.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{- 4 (x + 2)}{5}$

Passaggio 6.1.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4 (x + 2)}{5}$

Passaggio 6.2

Espandi $- 4 (x + 2)$ .

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Passaggio 6.2.1

Inizia a espandere.

$\frac{- 4 (x + 2)}{5}$

Passaggio 6.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 4 x - 4 \cdot 2}{5}$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$\frac{- 4 x - 8}{5}$

Passaggio 6.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$5$

$4 x$

$8$

Passaggio 6.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $5$ .

		-	$\frac{4 x}{5}$
	$5$	-	$4 x$	-	$8$

Passaggio 6.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

	-	$\frac{4 x}{5}$
$5$	-	$4 x$	-	$8$
	-	$4 x$

Passaggio 6.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 x$

	-	$\frac{4 x}{5}$
$5$	-	$4 x$	-	$8$
	+	$4 x$

Passaggio 6.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

	-	$\frac{4 x}{5}$
$5$	-	$4 x$	-	$8$
	+	$4 x$
		$0$

Passaggio 6.8

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

	-	$\frac{4 x}{5}$
$5$	-	$4 x$	-	$8$
	+	$4 x$
		$0$	-	$8$

Passaggio 6.9

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$- \frac{4 x}{5} - \frac{8}{5}$

Passaggio 6.10

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = - \frac{4 x}{5}$

Passaggio 7

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Nessun asintoto verticale

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = - \frac{4 x}{5}$

Passaggio 8