Precalcolo Esempi

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ è indefinita.

$x = - 2, x = 0$

Passaggio 2

Poiché $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- 2$ da sinistra e $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- 2$ da destra, allora $x = - 2$ è un asintoto verticale.

$x = - 2$

Passaggio 3

Poiché $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $0$ da sinistra e $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $0$ da destra, allora $x = 0$ è un asintoto verticale.

$x = 0$

Passaggio 4

Elenca tutti gli asintoti verticali:

$x = - 2, 0$

Passaggio 5

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 6

Trova $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Passaggio 7

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 8

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Scomponi $x$ da $x^{2} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + 2 x}$

Passaggio 8.1.2

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + x \cdot 2}$

Passaggio 8.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x (x + 2)}$

Passaggio 8.2

Espandi $x (x + 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + x \cdot 2}$

Passaggio 8.2.2

Riordina $x$ e $2$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + 2 x}$

Passaggio 8.2.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + 2 x}$

Passaggio 8.2.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + 2 x}$

Passaggio 8.2.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{1 + 1} + 2 x}$

Passaggio 8.2.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$

Passaggio 8.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Passaggio 8.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Passaggio 8.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

Passaggio 8.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x^{3} + 6 x^{2} + 0$

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

Passaggio 8.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$0$

Passaggio 8.8

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$0$

$1$

Passaggio 8.9

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 5 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

						$3 x$	-	$5$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$0$
							-	$5 x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Passaggio 8.10

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

						$3 x$	-	$5$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$0$
							-	$5 x^{2}$	+	$0$	+	$1$
							-	$5 x^{2}$	-	$10 x$	+	$0$

Passaggio 8.11

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 5 x^{2} - 10 x + 0$

$3 x$

$5$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$0$

$1$

$5 x^{2}$

$10 x$

$0$

Passaggio 8.12

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$3 x$

$5$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$0$

$1$

$5 x^{2}$

$10 x$

$0$

$10 x$

$1$

Passaggio 8.13

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$3 x - 5 + \frac{10 x + 1}{x^{2} + 2 x}$

Passaggio 8.14

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = 3 x - 5$

Passaggio 9

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - 2, 0$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = 3 x - 5$

Passaggio 10