Precalcolo Esempi

$\sqrt{x^{2} - 2 x - 2} + \sqrt{2 x - 3} = 5$

Passaggio 1

Imposta il radicando in $\sqrt{x^{2} - 2 x - 2}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{2} - 2 x - 2 \geq 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{2} - 2 x - 2 = 0$

Passaggio 2.2

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.3

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = - 2$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.1.3

Somma $4$ e $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Passaggio 2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.3

Somma $4$ e $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Passaggio 2.5.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = 1 + \sqrt{3}$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.3

Somma $4$ e $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.6.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Passaggio 2.6.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = 1 - \sqrt{3}$

Passaggio 2.7

Consolida le soluzioni.

$x = 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

Passaggio 2.8

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 1 - \sqrt{3}$

$1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$

$x > 1 + \sqrt{3}$

Passaggio 2.9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 1 - \sqrt{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 1 - \sqrt{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 3$

Passaggio 2.9.1.2

Sostituisci $x$ con $- 3$ nella diseguaglianza originale.

${(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 - 2 \geq 0$

Passaggio 2.9.1.3

Il lato sinistro di $13$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 2.9.2

Testa un valore sull'intervallo $1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 2.9.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

${(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 2 \geq 0$

Passaggio 2.9.2.3

Il lato sinistro di $- 2$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 2.9.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 1 + \sqrt{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 1 + \sqrt{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 5$

Passaggio 2.9.3.2

Sostituisci $x$ con $5$ nella diseguaglianza originale.

${(5)}^{2} - 2 \cdot 5 - 2 \geq 0$

Passaggio 2.9.3.3

Il lato sinistro di $13$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 2.9.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 1 - \sqrt{3}$ Vero

$1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ Falso

$x > 1 + \sqrt{3}$ Vero

$x < 1 - \sqrt{3}$ Vero

$1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ Falso

$x > 1 + \sqrt{3}$ Vero

Passaggio 2.10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq 1 - \sqrt{3}$ o $x \geq 1 + \sqrt{3}$

Passaggio 3

Imposta il radicando in $\sqrt{2 x - 3}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$2 x - 3 \geq 0$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Aggiungi $3$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$2 x \geq 3$

Passaggio 4.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x \geq 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x \geq 3$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{3}{2}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{3}{2}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{3}{2}$

Passaggio 5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[1 + \sqrt{3}, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq 1 + \sqrt{3}}$

Passaggio 6