Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{- 4 x^{2} - 8 x + 5}{2 x + 1}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{- 4 x^{2} - 8 x + 5}{2 x + 1}$ è indefinita.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 3

Trova $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Passaggio 4

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 5

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 5.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 5.1.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 4 \cdot 5 = - 20$ e la cui somma è $b = - 8$ .

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Passaggio 5.1.1.1.1

Scomponi $- 8$ da $- 8 x$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 8 (x) + 5}{2 x + 1}$

Passaggio 5.1.1.1.2

Riscrivi $- 8$ come $2$ più $- 10$ .

$\frac{- 4 x^{2} + (2 - 10) x + 5}{2 x + 1}$

Passaggio 5.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x - 10 x + 5}{2 x + 1}$

Passaggio 5.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 5.1.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(- 4 x^{2} + 2 x) - 10 x + 5}{2 x + 1}$

Passaggio 5.1.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{2 x (- 2 x + 1) + 5 (- 2 x + 1)}{2 x + 1}$

Passaggio 5.1.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- 2 x + 1$ .

$\frac{(- 2 x + 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Passaggio 5.1.2

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$\frac{(- (2 x) + 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Passaggio 5.1.3

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(- (2 x) - 1 (- 1)) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Passaggio 5.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Passaggio 5.1.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1.5.1

Riscrivi $- (2 x - 1)$ come $- 1 (2 x - 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Passaggio 5.1.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(2 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2

Espandi $- (2 x - 1) (2 x + 5)$ .

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Passaggio 5.2.1

Nega $2 x - 1$ .

$\frac{- (2 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(- (2 x) + 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2 x (2 x + 5) + 1 (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2 x (2 x) - 2 x \cdot 5 + 1 (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2 x (2 x) - 2 x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.6

Rimuovi le parentesi.

$\frac{- 1 \cdot (2 x (2 x)) - 2 x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.7

Rimuovi le parentesi.

$\frac{- 1 \cdot (2 x) \cdot (2 x) - 2 x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.8

Sposta $x$ .

$\frac{- 1 \cdot 2 \cdot (2 x \cdot x) - 2 x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.9

Rimuovi le parentesi.

$\frac{- 1 \cdot 2 \cdot (2 x \cdot x) - 1 \cdot (2 x) \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.10

Sposta $x$ .

$\frac{- 1 \cdot 2 \cdot (2 x \cdot x) - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.11

Rimuovi le parentesi.

$\frac{- 1 \cdot 2 \cdot (2 x \cdot x) - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.12

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 2 \cdot (2 x \cdot x) - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.13

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{- 4 x \cdot x - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.14

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 4 (x \cdot x) - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.15

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 4 (x \cdot x) - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.16

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 4 x^{1 + 1} - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.17

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.18

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.19

Moltiplica $- 2$ per $5$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 10 x + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.20

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 10 x + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.21

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 10 x + 2 x + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.22

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 10 x + 2 x + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.23

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 10 x + 2 x + 5}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.24

Somma $- 10 x$ e $2 x$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 8 x + 5}{2 x + 1}$

Passaggio 5.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$1$

$4 x^{2}$

$8 x$

$5$

Passaggio 5.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				-	$2 x$
	$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$

Passaggio 5.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			-	$4 x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 5.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 x^{2} - 2 x$

			-	$2 x$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$

Passaggio 5.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$

Passaggio 5.8

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$	+	$5$

Passaggio 5.9

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 6 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

			-	$2 x$	-	$3$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$	+	$5$

Passaggio 5.10

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$2 x$	-	$3$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$	+	$5$
					-	$6 x$	-	$3$

Passaggio 5.11

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 6 x - 3$

			-	$2 x$	-	$3$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$	+	$5$
					+	$6 x$	+	$3$

Passaggio 5.12

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$2 x$	-	$3$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$	+	$5$
					+	$6 x$	+	$3$
							+	$8$

Passaggio 5.13

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$- 2 x - 3 + \frac{8}{2 x + 1}$

Passaggio 5.14

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = - 2 x - 3$

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - \frac{1}{2}$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = - 2 x - 3$

Passaggio 7