Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{24 x^{2} - 14 x + 1}{4 x - 3}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{24 x^{2} - 14 x + 1}{4 x - 3}$ è indefinita.

$x = \frac{3}{4}$

Passaggio 2

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 3

Trova $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Passaggio 4

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 5

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 5.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 5.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 24 \cdot 1 = 24$ e la cui somma è $b = - 14$ .

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Passaggio 5.1.1.1

Scomponi $- 14$ da $- 14 x$ .

$\frac{24 x^{2} - 14 (x) + 1}{4 x - 3}$

Passaggio 5.1.1.2

Riscrivi $- 14$ come $- 2$ più $- 12$ .

$\frac{24 x^{2} + (- 2 - 12) x + 1}{4 x - 3}$

Passaggio 5.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{24 x^{2} - 2 x - 12 x + 1}{4 x - 3}$

Passaggio 5.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 5.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(24 x^{2} - 2 x) - 12 x + 1}{4 x - 3}$

Passaggio 5.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{2 x (12 x - 1) - (12 x - 1)}{4 x - 3}$

Passaggio 5.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $12 x - 1$ .

$\frac{(12 x - 1) (2 x - 1)}{4 x - 3}$

Passaggio 5.2

Espandi $(12 x - 1) (2 x - 1)$ .

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Passaggio 5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{12 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)}{4 x - 3}$

Passaggio 5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{12 x (2 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)}{4 x - 3}$

Passaggio 5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{12 x (2 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Passaggio 5.2.4

Rimuovi le parentesi.

$\frac{12 x \cdot (2 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Passaggio 5.2.5

Sposta $x$ .

$\frac{12 \cdot (2 x \cdot x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Passaggio 5.2.6

Sposta $x$ .

$\frac{12 \cdot (2 x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Passaggio 5.2.7

Rimuovi le parentesi.

$\frac{12 \cdot (2 x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Passaggio 5.2.8

Moltiplica $12$ per $2$ .

$\frac{24 x \cdot x + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Passaggio 5.2.9

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{24 (x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Passaggio 5.2.10

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{24 (x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Passaggio 5.2.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{24 x^{1 + 1} + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Passaggio 5.2.12

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{24 x^{2} + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Passaggio 5.2.13

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$\frac{24 x^{2} - 12 x - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Passaggio 5.2.14

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{24 x^{2} - 12 x - 2 x - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Passaggio 5.2.15

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{24 x^{2} - 12 x - 2 x + 1}{4 x - 3}$

Passaggio 5.2.16

Sottrai $2 x$ da $- 12 x$ .

$\frac{24 x^{2} - 14 x + 1}{4 x - 3}$

Passaggio 5.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$4 x$

$3$

$24 x^{2}$

$14 x$

$1$

Passaggio 5.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $24 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $4 x$ .

					$6 x$
	$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$

Passaggio 5.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			+	$24 x^{2}$	-	$18 x$

Passaggio 5.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $24 x^{2} - 18 x$

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$

Passaggio 5.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$

Passaggio 5.8

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$

Passaggio 5.9

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $4 x$ .

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$

Passaggio 5.10

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	-	$3$

Passaggio 5.11

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x - 3$

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	+	$3$

Passaggio 5.12

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	+	$3$
							+	$4$

Passaggio 5.13

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$6 x + 1 + \frac{4}{4 x - 3}$

Passaggio 5.14

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = 6 x + 1$

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = \frac{3}{4}$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = 6 x + 1$

Passaggio 7