Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{3} - 8}{x^{2} - 7 x + 10}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{x^{3} - 8}{x^{2} - 7 x + 10}$ è indefinita.

$x = 2, x = 5$

Passaggio 2

Poiché $\frac{x^{3} - 8}{x^{2} - 7 x + 10}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $5$ da sinistra e $\frac{x^{3} - 8}{x^{2} - 7 x + 10}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $5$ da destra, allora $x = 5$ è un asintoto verticale.

$x = 5$

Passaggio 3

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 4

Trova $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Passaggio 5

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 6

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 6.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.1.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1.1.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\frac{x^{3} - 2^{3}}{x^{2} - 7 x + 10}$

Passaggio 6.1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{2} - 7 x + 10}$

Passaggio 6.1.1.3

Semplifica.

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Passaggio 6.1.1.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})}{x^{2} - 7 x + 10}$

Passaggio 6.1.1.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} - 7 x + 10}$

Passaggio 6.1.2

Scomponi $x^{2} - 7 x + 10$ usando il metodo AC.

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Passaggio 6.1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $10$ e la cui somma è $- 7$ .

$- 5, - 2$

Passaggio 6.1.2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{(x - 5) (x - 2)}$

Passaggio 6.1.3

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

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Passaggio 6.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{(x - 5) (x - 2)}$

Passaggio 6.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x - 5}$

Passaggio 6.2

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$5$

$x^{2}$

$2 x$

$4$

Passaggio 6.3

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x$
	$x$	-	$5$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$

Passaggio 6.4

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x$
$x$	-	$5$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$
			+	$x^{2}$	-	$5 x$

Passaggio 6.5

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} - 5 x$

				$x$
$x$	-	$5$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{2}$	+	$5 x$

Passaggio 6.6

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x$
$x$	-	$5$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$7 x$

Passaggio 6.7

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x$
$x$	-	$5$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$7 x$	+	$4$

Passaggio 6.8

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $7 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x$	+	$7$
$x$	-	$5$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$7 x$	+	$4$

Passaggio 6.9

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x$	+	$7$
$x$	-	$5$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$7 x$	+	$4$
					+	$7 x$	-	$35$

Passaggio 6.10

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $7 x - 35$

				$x$	+	$7$
$x$	-	$5$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$7 x$	+	$4$
					-	$7 x$	+	$35$

Passaggio 6.11

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x$	+	$7$
$x$	-	$5$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$7 x$	+	$4$
					-	$7 x$	+	$35$
							+	$39$

Passaggio 6.12

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$x + 7 + \frac{39}{x - 5}$

Passaggio 6.13

Dividi la soluzione in porzione polinomiale e resto.

$x + 7 + \frac{39 x - 78}{x^{2} - 7 x + 10}$

Passaggio 6.14

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = x + 7$

Passaggio 7

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 5$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = x + 7$

Passaggio 8